UESTC 880 生日礼物 --单调队列优化DP

定义dp[i][j]表示第i天手中有j股股票时，获得的最多钱数。

转移方程有：

1.当天不买也不卖: dp[i][j]=dp[i-1][j];

2.当天买了j-k股: dp[i][j]=max(dp[r][k]+(j-k)*Ap[i]); (r<i-w)

3.当天卖了k-j股: dp[i][j]=max(dp[r][k]+(k-j)*Bp[i]); (r<i-w)

直接转移复杂度太高，为O(n^2*Maxp^2).

分别考虑每种转移，第一种不用管，考虑第二种。

dp[i][j]=max(dp[r][k]+(j-k)*Ap[i])

变换得：dp[i][j]-j*Ap[i]=dp[r][k]-k*Ap[i]。

所以变成使dp[r][k]-k*Ap[i]最大。

对于dp[r][k]-k*Ap[i]， 因为我们已经有dp[i][k]=dp[i-1][k]的转移了，说明，dp[i][k]包含了所有dp[j][k] （j<i）的情况。 换句话说dp[i][k]是递增的。那么这里我们显然就可以直接把r换成i-w-1，于是变成了求 dp[i-w-1][k]-k*Ap[i]的最大值。

令f[k]=dp[i-w-1][k]-k*Ap[i]) 原式变为 dp[i][j]=max(f[k])+j*Ap[i] （0=<k<j），如果再把与i相关的东西变成常数，则变成类似dp[j] = max(f[k])+c[j]形式，即变成可用单调队列优化的形式。

维护一个单调递增队列来求f[k]。复杂度O(n*Maxp).

因为直接令r=i-w-1,因为r>=1,所以i>w+1时才能转移，这是i<=w+1的情况需要预处理。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define Mod 1000000007
using namespace std;
#define N 2007

struct node
{
    int num,val;
}que[N];

int AP[N],BP[N],AS[N],BS[N];
int dp[N][N];
int n,Maxp,w;

void init()
{
    int i,j;
    for(i=0;i<=2000;i++)
        for(j=0;j<=Maxp;j++)
            dp[i][j] = -Mod;
    dp[0][0] = 0;
    for(i=1;i<=w+1;i++)
        for(j=0;j<=min(AS[i],Maxp);j++)
            dp[i][j] = -j*AP[i];
}

int main()
{
    int i,j,k;
    int t,head,tail;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d%d",&n,&Maxp,&w);
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d%d%d%d",&AP[i],&BP[i],&AS[i],&BS[i]);
        init();
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            //unbuy & unsell
            for(j=0;j<=Maxp;j++)
                dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j]);
            if(i-w-1 <= 0)
                continue;
            //buy j-k stocks
            head = 1;
            tail = 0;
            for(j=0;j<=Maxp;j++)
            {
                int tmp = dp[i-w-1][j] + j*AP[i];
                while(tail >= head && j-que[head].num > AS[i])
                    head++;
                if(head <= tail)
                    dp[i][j] = max(dp[i][j],que[head].val-(j-que[head].num)*AP[i]);
                while(tail >= head && que[tail].val+que[tail].num*AP[i] < tmp)
                    tail--;
                que[++tail].num = j;
                que[tail].val = dp[i-w-1][j];
            }
            //sell k-j stocks
            head = 1;
            tail = 0;
            for(j=Maxp;j>=0;j--)
            {
                int tmp = dp[i-w-1][j] + j*BP[i];
                while(tail >= head && que[head].num-j > BS[i])
                    head++;
                if(head <= tail)
                    dp[i][j] = max(dp[i][j],que[head].val-(j-que[head].num)*BP[i]);
                while(tail >= head && que[tail].val+que[tail].num*BP[i] < tmp)
                    tail--;
                que[++tail].num = j;
                que[tail].val = dp[i-w-1][j];
            }
        }
        int res = 0;
        for(i=0;i<=Maxp;i++)
            res = max(res,dp[n][i]);
        printf("%d\n",res);
    }
    return 0;
}