bzoj2876 [Noi2012]骑行川藏

Description

蛋蛋非常热衷于挑战自我，今年暑假他准备沿川藏线骑着自行车从成都前往拉萨。川藏线的沿途有着非常美丽的风景，但在这一路上也有着很多的艰难险阻，路况变化多端，而蛋蛋的体力十分有限，因此在每天的骑行前设定好目的地、同时合理分配好自己的体力是一件非常重要的事情。
由于蛋蛋装备了一辆非常好的自行车，因此在骑行过程中可以认为他仅在克服风阻做功（不受自行车本身摩擦力以及自行车与地面的摩擦力影响）。某一天他打算骑 N段路，每一段内的路况可视为相同：对于第i段路，我们给出有关这段路况的3个参数 si , ki , vi' ，其中 si 表示这段路的长度， ki 表示这段路的风阻系数， vi' 表示这段路上的风速（表示在这段路上他遇到了顺风，反之则意味着他将受逆风影响）。若某一时刻在这段路上骑车速度为v，则他受到的风阻大小为 F = ki ( v - vi' )2（这样若在长度为s的路程内保持骑行速度v不变，则他消耗能量（做功）E = ki ( v - vi' )2 s）。
设蛋蛋在这天开始时的体能值是 Eu ，请帮助他设计一种行车方案，使他在有限的体力内用最短的时间到达目的地。请告诉他最短的时间T是多少。

【评分方法】
本题没有部分分，你程序的输出只有和标准答案的差距不超过0.000001时，才能获得该测试点的满分，否则不得分。

【数据规模与约定】
对于10%的数据，N=1；
对于40%的数据，N<=2；
对于60%的数据，N<=100；
对于80%的数据，N<=1000；
对于所有数据，N <= 10000，0 <= Eu <= 108，0 < si <= 100000，0 < ki <= 1，-100 < vi' < 100。数据保证最终的答案不会超过105。

【提示】
必然存在一种最优的体力方案满足：蛋蛋在每段路上都采用匀速骑行的方式。

Input

第一行包含一个正整数N和一个实数Eu，分别表示路段的数量以及蛋蛋的体能值。 接下来N行分别描述N个路段，每行有3个实数 si , ki , vi' ，分别表示第 i 段路的长度，风阻系数以及风速。

Output

输出一个实数T，表示蛋蛋到达目的地消耗的最短时间，要求至少保留到小数点后6位。

Sample Input

3 10000
10000 10 5
20000 15 8
50000 5 6

Sample Output

12531.34496464
【样例说明】 一种可能的方案是：蛋蛋在三段路上都采用匀速骑行的方式，其速度依次为5.12939919, 8.03515481, 6.17837967。

 

正解：拉格朗日乘子法+二分答案。

ZYT学长的题解：http://www.cnblogs.com/MashiroSky/p/6368825.html

其实这道题暴力还是挺简单的，直接三分就行了。。

然而这道题我不知道怎么求偏导数，我连偏导数是什么都不知道，虽然我知道只有偏导数才是难点。。

 

拉格朗日乘子法可以解决如下问题：

在满足$g(x1,x2,...)=c$（c为常数）的情况下，求出$f(x1,x2,...)$的最小值。

 

然后接下来的话不是人话：

我们可以发现，$f$取最值时，$f$和$g$的等高线相切。当等高线相切时$f$和$g$的梯度向量平行，也就是$\nabla f//\nabla g$。

然后梯度向量的每一维就对应$f$每一维的偏导数。具体表示见ZYT学长博客。。

我们求出偏导数以后，可以列出$n$个方程，再加上一个约束，也就是$n+1$个方程。

 

如果忽略上面的步骤那么这道题还是很容易的。。

于是最后的方程就是这样：$2\lambda k_{i}v_{i}^{2}(v_{i}-{v_{i}}')=-1$

再加上一个约束条件就是：$\sum_{i=1}^{n}k_{i}(v_{i}-v_{i}^{'})s_{i}=E$

我们可以很容易发现，$v_{i}$的下限是$v_{i}^{'}$，上限是每段路用$E$能量的速度（然而因为$s_{i}$可能为$0$所以要用$inf$）。

所以，$k_{i}v_{i}^{2}(v_{i}-{v_{i}}')>0$，那么$\lambda <0$。且随$\lambda $增大，$v_{i}$也增大；随着$v_{i}$增大，$E$增大，方程减小。

那么思路就很明显了，首先二分$\lambda$，然后再二分得出$v_{i}$，每次二分$\lambda$时判断能量总和是否超过$E$，每次二分$v_{i}$时判断方程是否满足大于等于$1$。这样，我们就能求出每个$v_{i}$，算出答案了。

 

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#include <algorithm>
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#include <map>
#include <set>
#define eps (1e-13)
#define inf (1e18)
#define N (10010)
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define ld long double
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)

using namespace std;

ld s[N],k[N],v[N],vv[N],E,ans,lambda;
int n;

il int check(RG ld key){
    RG ld res=0,l,r,mid;
    for (RG int i=1;i<=n;++i){
    l=max((ld)0.0,vv[i]),r=inf,v[i]=l;
    while (l<=r){
        mid=(l+r)/2;
        if (2*key*k[i]*mid*mid*(mid-vv[i])>=-1) v[i]=mid,l=mid+eps; else r=mid-eps;
    }
    res+=k[i]*s[i]*(v[i]-vv[i])*(v[i]-vv[i]);
    }
    return res<=E;
}

il void work(){
    scanf("%d%Lf",&n,&E);
    for (RG int i=1;i<=n;++i) scanf("%Lf%Lf%Lf",&s[i],&k[i],&vv[i]);
    RG ld l=-inf,r=0.0,mid;
    while (l<=r){
    mid=(l+r)/2;
    if (check(mid)) lambda=mid,l=mid+eps; else r=mid-eps;
    }
    check(lambda);
    for (RG int i=1;i<=n;++i) ans+=s[i]/v[i];
    printf("%0.9Lf",ans); return;
}

int main(){
    File("bicycle");
    work();
    return 0;
}