狐狸捉兔子问题
1. 问题描述
围绕着山顶有10个洞，狐狸想要吃兔子，兔子说：“可以，但必须找到我，我就藏身于这10个洞中，你从10号洞出发，先到1号洞找，第二次隔1个洞找，第三次隔2个洞找，以后如此类推，次数不限。”但狐狸从早到晚进进出出了1000次，仍没有找到兔子。问兔子究竟藏在哪个洞里？
2. 问题分析
(1) 把10个洞编上序号：1,2,3,4,5,6,7,8,9,0
(2) 狐狸从0号洞出发，第1次在1号洞找；第2次隔1个洞，在3号洞找；第3次隔2个洞，在6号洞找；第4次隔3个洞，在0号洞找；第5次隔4个洞口，即在5号洞找；以此类推。
(3) 可见，其实上述问题其实是一个等差数列求和问题（首项为1，公差为1）。将求和结果对10取余（求和结果%10），即可得到狐狸每次进去的洞口号。
(4) 如下图所示，仔细观察可以发现，如果狐狸连续两次都进入出发洞口（0号洞），表明接下来进入洞口的顺序与之前的顺序相同！因此遇到连续两次都进入出发洞口的情况，即可停止寻找，因为接下来只是重复之前找过的洞口。
3. 算法描述
(1) 首项为1，公差为1的等差数列求和公式：n*(n+1)/2，n为寻找的次数
(2) 狐狸每次进入的洞口号为：(n*(n+1)/2)%10，对10取余是因为有10个洞口
(3) 设x为寻找的次数，连续两次进入都是出发时的洞口（0号洞），可停止寻找。设HOLENUM为洞口的个数，本例是10
即第x-1次：((x-1)*(x-1+1)/2)%HOLENUM == 0
第x次：(x*(x+1)/2)%HOLENUM == 0
一般的，x = 2*HOLENUM。即如果洞口有10个，则需要找20次，就会在遇到连续两次进入出发的洞口（本例是第19次和第20次）
特殊的，如果HOLENUM是(2^k +1)，则 x = HOLENUM，(k = 0,1,2,3......)。即如果洞口有15个， 则只需找15次，就会遇到连续两次进入出发时的洞口（第14次和第15次）
(4) 可见，该算法的时间复杂度与洞口的个数有关，具体的时间复杂度为Θ(n)
4. 代码实现
1 #include <stdio.h> 2 #define HOLENUM 10 3 4 void FindRibbit(int Hole[HOLENUM]); 5 6 int main() 7 { 8 int hole[HOLENUM] = {0}; // 10个山洞 9 FindRibbit(hole); 10 return 0; 11 } 12 13 void FindRibbit(int Hole[HOLENUM]) 14 { 15 int i = 0; 16 int currenthole = 0, nexthole = 0; 17 for(i = 1; i <= 2 * HOLENUM; ++i) 18 { 19 currenthole = (currenthole + i) % HOLENUM; // 当前进去的山洞 20 Hole[currenthole % HOLENUM] = 1; 21 nexthole = (currenthole + i + 1) % HOLENUM; // 下一次进去的山洞 22 23 if(currenthole == 0 && nexthole == 0) // 如果连续两次进去的山洞都是出发时的洞口，则接下来的进洞顺序与前面的顺序重复，故可以跳出循环 24 break; // 本例是从10号(即0号)洞口出发 25 } 26 28 for(i = 0; i < HOLENUM; ++i) // 输出兔子可能躲藏的洞口 29 { 30 if(Hole[i] == 0) 31 printf("the ribbit may be in %d hole\n", i); 32 } 33 }
5. 测试结果
the ribbit may be in 2 hole the ribbit may be in 4 hole the ribbit may be in 7 hole the ribbit may be in 9 hole
