贪心算法-单源最短路径

算法思想：贪心算法

实际问题：单源最短路径

编程语言：Java

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问题描述

  单源最短路径算法，又称迪杰斯特拉算法。其目的是寻找从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有权图中最短路径问题。

算法构造

相关解释

• 观测域：假设起点为v点，观测域便为v点的四周，即v的所有邻接点；
• 点集 V：图中所有点的集合；
• 点集 S：已经找到最短路径的终点集合；
• 数组 D：存储观测域内能观测到的最短路径，算上起点一共 n 个数值。比如 D[k] 对应在观测域中能观测到的，到顶点 k 的最短路径；
• 邻接矩阵 a：存储着有权图中的边的信息，是一个二维数组。比如 a[1][2] = 5 表示在有权图中，点 1 和点 2 之间有边，且边的权值为 5。如果两点之间没边，则用负数或则无穷大(∞)表示。

算法步骤

• 第一步：初始化点集 S，将起点 v 收入 S 中。初始化数组 D：D[k] = a[v][k]；
• 第二步：找寻次短路径。即查找数组 D，找出观测域中最短路径(v, j)：D[j] = min(D[k] | k 不属于 S)。将点 j 加入点集 S 中；
• 第三步：将 j 的邻接点并入观测域，即用 j 的邻接点更新数组 D；
• 第四步：不断重复第二步和第三步，直到节点全部压入 S 中为止。

注：贪心算法的思想主要就体现在第二步和第三步之中。

Java 代码

  本代码求解的是无向有权图的最短路径，如果想求有向有权图的最短路径，则只需要将无向图的邻接矩阵改为有向图的邻接矩阵即可。

import java.util.Scanner;

public class SSSP
{
	public static void main(String[] args)
	{
		Scanner input = new Scanner(System.in);
		
		System.out.print("请输入图的顶点和边的个数(格式：顶点个数 边个数)：");
		int n = input.nextInt(); //顶点的个数
		int m = input.nextInt(); //边的个数
		
		System.out.println();
		
		int[][] a = new int[n + 1][n + 1];
		//初始化邻接矩阵
		for(int i = 0; i < a.length; i++)
		{
			for(int j = 0; j < a.length; j++)
			{
				a[i][j] = -1; //初始化没有边
			}
		}
		
		System.out.println("请输入图的路径长度(格式：起点 终点 长度)：");
		//总共m条边
		for(int i = 0; i < m; i++)
		{
			//起点，范围1到n
			int s = input.nextInt();
			//终点，范围1到n
			int e = input.nextInt();
			//长度
			int l = input.nextInt();
			
			if(s >= 1 && s <= n && e >= 1 && e <= n)
			{
				//无向有权图
				a[s][e] = l;
				a[e][s] = l;
			}
		}
		
		System.out.println();
		
		//距离数组
		int[] dist = new int[n+1];
		//前驱节点数组
		int[] prev = new int[n+1];
		
		int v =1 ;//顶点，从1开始
		dijkstra(v, a, dist, prev);
	}
	
	/**
	 * 单源最短路径算法(迪杰斯特拉算法)
	 * @param v 顶点
	 * @param a 邻接矩阵表示图
	 * @param dist 从顶点v到每个点的距离
	 * @param prev 前驱节点数组
	 */
	public static void dijkstra(int v, int[][] a, int[] dist, int[] prev)
	{
		int n = dist.length;
		/**
		 * 顶点从1开始，到n结束，一共n个结点
		 */
		if(v > 0 && v <= n)
		{
			//顶点是否放入的标志
			boolean[] s = new boolean[n];
			
			//初始化
			for(int i = 1; i < n; i++)
			{
				//初始化为 v 到 i 的距离
				dist[i] = a[v][i];
				//初始化顶点未放入
				s[i] = false;
				//v到i无路，i的前驱节点置空
				if(dist[i] == -1)
				{
					prev[i] = 0;
				}
				else
				{
					prev[i] = v;
				}
			}
			
			//v到v的距离是0
			dist[v] = 0;
			//顶点放入
			s[v] = true;
			
			//共扫描n-2次，v到v自己不用扫
			for(int i = 1; i < n - 1; i++)
			{
				int temp = Integer.MAX_VALUE;
				//u为下一个被放入的节点
				int u = v;
				
				//这个for循环为第二步，观测域为v的观测域
				//遍历所有顶点找到下一个距离最短的点
				for(int j = 1; j < n; j++)
				{
					//j未放入，且v到j有路，且v到当前节点路径更小
					if(!s[j] && dist[j] != -1 && dist[j] < temp)
					{
						u = j;
						//temp始终为最小的路径长度
						temp = dist[j];
					}
				}
				
				//将得到的下一节点放入
				s[u] = true;
				
				//这个for循环为第三步，用u更新观测域
				for(int k = 1; k < n; k++)
				{
					if(!s[k] && a[u][k] != -1)
					{
						int newdist=dist[u] + a[u][k];
						if(newdist < dist[k] || dist[k] == -1)
						{
							dist[k] = newdist;
							prev[k] = u;
						}
					}
				}
			}
		}
		
		for(int i = 2; i < n; i++)
		{
			System.out.println(i + "节点的最短距离是："
				+ dist[i] + "；前驱点是：" + prev[i]);
		}

	}
}

运行结果