[转]logX<X对所有的X>0成立
http://blog.sciencenet.cn/blog-1865911-831450.html 此文来自科学网何召卫博客,转载请注明出处。
这个命题网上有多种证法,有人甚至采用斜率和图形的方式。我不是数学老师,不能评判正确性,个人觉得归纳法比较传统也比较严密,这里推荐归纳法,答案中找到的,只是整理出来,顺便学习。
如果
如果X = 1
logX = 0 -> 0 < 1 命题成立
否则
logX < 0 而 X > 0 所以 命题成立
如果 1 < X < 2
logX < 1 命题成立
如果 X = 2
logX = 1 < 2 命题成立
现在考虑 X > 2的情况,我也是自己证明到这里卡住的,已经忘记大学的训练了,对于归纳法的运用非常的生涩,这里重新写一遍,也是对作者对归纳法证明运用纯熟的膜拜吧。
现在假定对于正整数p,对于 命题成立,现在证明对于
命题也成立
因为 所以,
因为p为正整数, 2p < Y,所以 2 < Y,所以1 < Y/2 所以
所以 1+ Y/2 < Y
综上 logY < Y成立。
所以命题的证。
这个证明过程稍长,不过容易理解,而且归纳法还可以这样用,真心拾回一些遗失的技能的赶脚。