洛谷 P3800 Power收集

题目背景

据说在红雾异变时，博丽灵梦单身前往红魔馆，用十分强硬的手段将事件解决了。

然而当时灵梦在Power达到MAX之前，不具有“上线收点”的能力，所以她想要知道她能收集多少P点，然而这个问题她答不上来，于是她找到了学OI的你。

题目描述

可以把游戏界面理解成一个N行M列的棋盘，有K个格子上有P点，其价值为val(i,j)

初始灵梦可以选择在第一行的任意一个格子出发，每秒她必须下移一格。

灵梦具有一个左右移动的速度T，可以使她每秒向左或右移动至多T格,也可以不移动，并且不能折返。移动可视为瞬间完成，不经过路途上的点，只能获得目标格子的P点。

求最终她能获得的POWER值最大是多少？

输入输出格式

输入格式：

 

第一行四个数字，N,M,K,T

接下来K行每行3个数字x,y,v,代表第x行第y列有一个val为v的P点，数据保证一个格子上最多只有1个P点。

 

输出格式：

 

一个数字

 

输入输出样例

输入样例#1：

3 3 4 1
1 1 3
1 2 1
2 2 3
3 3 3

输出样例#1：

9

说明

对于40%的测试点，1<=N,M,T,K<=200

对于100%的测试点，1<=N,M,T,K<=4000

v<=100，N,M,K,T均为整数

by-szc

 

解题思路

　　DP，我想到的有以下两种思路

　　　　1、类似于这道题，可以从下到上一行行地填 f 数组，对于一行中的每一个，容易想到暴力搜索下一行从哪里转移过来，复杂度$O(nmt)$，然后就爆了。于是咋办呢？发现我们填$f[i][j]$时，搜了一遍$f[i+1][j-t]$到$f[i+1][j+t]$(不要在意边界溢出，特判一下就是了)，然后填$f[i][j+1]$时，除了搜$f[i+1][j+t+1]$之外，又搜了一遍$f[i+1][j-t+1]$到$f[i+1][j+t]$，重复好多啊，于是怎么办呢？就想到了这题（https://www.luogu.org/problem/P2251），给一个序列，求所有一定长度的区间中的最值，嗯，RMQ，可以用st表，也可以用单调队列，这里套在每一行上，总复杂度就分别是$O(nmlog_2m)$(套st表)$O(nm)$(套单调队列)，于是，st表有点虚啊，常数很大的同学可能就卡不过去了，而且st表空间$O(mlog_m)$，单调队列空间$O(t)$，还有……单调队列比st表好写太多了，果断单调队列，见下面第一个代码，最慢一个点862ms，怪不得出题人把时限开到2s，放了这个大众的思路

　　　　2、和打鼹鼠这题很像，可以看看我这篇博文。存下所有power的信息，然后按照行号、列号排个序，然后就类似最长不下降序列的DP做法了，每拓展一个位置，就向前扫描已经拓展的所有的位置，看看能从哪里来到这里，如果速度、时间都满足，就刷新最大值吧。见以下代码二。这个的时间复杂度$O(k^2)$，和上面那个单调队列是同阶的，但是这个思路实际用时是上面的二分之一，占用空间是上面的快十分之一，代码量是上面的二分之一，果然$\mbox{think twice, code once.}$啊。

2019年8月9日09:20:05更新：这就是传说中的单调队列优化DP么……上面链接挂了不少……第一个链接咋是回文平方数啊，我原本想挂那个题啊，是这个吗https://www.luogu.org/problem/P1508……洛谷这样子把题库改来改去不太好……以后挂链接还是挂我自己博客的吧

源代码

代码一(单调队列)

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

int n,m,k,t;
int a[4002][4002]={0},f[4002][4002]={0},q[4002]={0};

void work(int i)
{
    int l=0,r=0;
    //memset(q,0,sizeof(q));
    for(int j=1;j<=m;j++)
    {
        while(l<r&&f[i+1][q[r-1]]<f[i+1][j]) r--;
        q[r++]=j;
        while(l<r&&q[l]<j-t) l++;
        f[i][j]=f[i+1][q[l]];
    }
    l=0,r=0;
    //memset(q,0,sizeof(q));
    for(int j=m;j>=1;j--)
    {
        while(l<r&&f[i+1][q[r-1]]<f[i+1][j]) r--;
        q[r++]=j;
        while(l<r&&q[l]>j+t) l++;
        f[i][j]=max(f[i][j],f[i+1][q[l]]);
    }
    for(int j=1;j<=m;j++)
        f[i][j]+=a[i][j];
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&t);
    for(int i=1,u,v,w;i<=k;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        a[u][v]=w;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++) f[n][i]=a[n][i];
    for(int i=n-1;i>0;i--)
        work(i);
    int ans=-1;
    for(int j=1;j<=m;j++)
        ans=max(ans,f[1][j]);
    
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

代码二

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,k,t;
struct Edge{
    int x,y,val;
}a[4005];
int cmp(Edge X,Edge Y)
{
    return X.x<Y.x;
}
int f[4005]={0};
int main(){
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&t);
    for (int i=1;i<=k;i++) scanf("%d%d%d",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].val);
    sort(a+1,a+1+k,cmp);
    int ans=0;
    for (int i=1;i<=k;i++)
    {
        dp[i]=a[i].val;
        for (int j=1;j<i;j++)
            if (abs(a[i].y-a[j].y)<=t*abs(a[i].x-a[j].x))
                f[i]=max(f[i],f[j]+a[i].val);
        ans=max(ans,f[i]);
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

哇，简直就是打鼹鼠的代码复制过来啊，那题不排序但这题排序是因为那题输入按时间顺序，这个没说按顺序