wiki--魔方数构造原理
幻方简史
[编辑]洛书
在中国古典文献中记载了洛书的传说:公元前23世纪大禹治水之时,一只巨大的神龟出现于黄河支流洛水中,龟甲上有9种花点的图案,分别代表这9个数,而3行、3列以及两对角线上各自的数之和均为15,世人称之为洛书。中国汉朝的数术记遗中,称之为九宫算,又叫九宫图
[编辑]杨辉纵横图
南宋数学家杨辉著《续古摘奇算法》把类似于九宫图的图形命名为纵横图,书中列举3、4、5、6、7、8、9、10阶幻方。其中所述三阶幻方构造法:“九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出,戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足”,比法国数学家Claude Gaspar Bachet提出的方法早三百余年。
[编辑]构造法
根据构造方法的不同,幻方可以分成三类:奇数阶幻方、4M阶幻方和4M + 2阶幻方,其中M为自然数,2阶幻方不存在。幻方构造法主要有:连续摆数法、阶梯法(楼梯法)、奇偶数分开的菱形法、对称法、对角线法、比例放大法、斯特雷奇法、LUX法、拉伊尔法(基方、根方合成法)、镶边法、相乘法、幻方模式等。
[编辑]奇数阶幻方构造法
Siamese方法(Kraitchik 1942年,pp. 148-149)是构造奇数阶幻方的一种方法,说明如下:
- 把1放置在第一行的中间。
- 顺序将等数放在右上方格中。
- 当右上方格出界的时候,则由另一边进入。
- 当右上方格中已经填有数,则把数填入正下方的方格中。
- 按照以上步骤直到填写完所有N2个方格。
(由于幻方的对称性,也可以把右上改为右下、左上以及左下等方位)
以下图5阶幻方为例,1填写在(1,3)(第一行第三列)的位置上;2应当填写在其右上方格即(0,4)中,由于(0,4)超出顶边界,所以从最底行进入,即(5,4);3填写在(5,4)的右上方格(4,5)中;4填写在(4,5)的右上方格(3,6)中,由于(3,6)超出右边界,所以从最左列进入,即(3,1);5填写在(3,1)的右上方格(2,2)中;6应该填写的方格(1,3)已经被1所占据,因此填写在(2,2)的正下方格(3,2)中;按照上面的步骤直到所有数填入。
3阶 | 5阶 | 9阶 |
[编辑]偶数阶幻方构造法
[编辑]4M阶幻方构造法
对于4M阶幻方一般都用对调法,制作起来很容易。如4阶幻方的排列法:
按如上图排列好,再将非主副对角线上的各个数关于中心对调,即成下图:
[编辑]4M + 2阶幻方构造法
[编辑]加边法
以6阶为例子,先排出4阶的幻方,如上图,再将图中每一个数都加上8m + 2 = 10,有下图:
在外围加上一圈格子,把和这些数安排在外圈格子内,但要使相对两数之和等于16m(m + 1) + 5。对于m = 1这些数是:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10;27,28,29,30,31,32,33,34,35,36。
结果如下:
[编辑]LUX法
在(4M+2)×(4M+2)個方格的適當格點上,先排出2M+1階的幻方。在首M+1行的格點,全部標上「L」,除了第M+1行中間的是標「U」;在第M+2行的格點,全部標上「U」,除了第M+2行中間的是標「L」;在餘下的M-1行的格點,全部標上「X」。將格點上的數乘以4,再減4,再按下面的規則加上1至4其中一個數,填入對應的格上:
4 1 1 4 1 4 L U X 2 3 2 3 3 2
例子:
[ 68 65 96 93 4 1 32 29 60 57 ] 17L 24L 1L 8L 15L[ 66 67 94 95 2 3 30 31 58 59 ][ 92 89 20 17 28 25 56 53 64 61 ] 23L 5L 7L 14L 16L[ 90 91 18 19 26 27 54 55 62 63 ][ 16 13 24 21 49 52 80 77 88 85 ] 4L 6L 13U 20L 22L[ 14 15 22 23 50 51 78 79 86 87 ][ 37 40 45 48 76 73 81 84 9 12 ] 10U 12U 19L 21U 3U[ 38 39 46 47 74 75 82 83 10 11 ][ 41 44 69 72 97 100 5 8 33 36 ] 11X 18X 25X 2X 9X[ 43 42 71 70 99 98 7 6 35 34 ]