一个经典不定积分的计算

作为本博客的第一篇文章，我们就先来篇关于积分的计算，当然，我会选择一些相对简单的积分作我的debut，话不多说，我们开始搞积。

考虑积分：

\[\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx\]

问题分析：此积分明显为超越函数积分，想要通过找原函数进行积分几乎不可能实现，所以我们对于此题要抛弃初等方法，采取一些取巧的计算，比如含参量积分或者利用一些特殊的级数或者积分计算。我们在此晒出一种利用级数计算此积分的方法，当然这并不是最简单的方案，但是其思路比较清晰且给人一种耳目一新的感觉。

首先我们考虑级数

\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{sinnx}{n}\]

我们很容易得知此级数一致收敛。此函数项级数每一项都有周期2$\pi$,因此我们只需要研究区间[0,2$\pi$),我们有$$s_n(x)=\int_{0}^{x}\cos x+\cos 2x+\dots+\cos nt dt=\int_{0}^{x}\frac{\sin (n+\frac{1}{2})t-\sin \frac{t}{2}}{2\sin \frac{t}{2}}dt=\int_{0}^{(n+1/2)x}\frac{\sin u}{u}dt+\int_{0}^{x}(\frac{1}{2\sin \frac{t}{2}}-1/t)\sin (n+1/2)tdt-x/2$$
此时由于$\int_{0}^{h}\frac{\sin u}{u}du$恒为正数，且在h=$\pi$时取得最大值，因此在x$\in$[0,$\pi$]时，我们有$$\left|s_n(x)\right|\le\int_{0}^{\pi}\frac{\sin u}{u}du+\int_{0}^{x}(\frac{1}{2\sin \frac{t}{2}}-1/t)dt+\pi/2$$

记$I=\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx$,因为$$\int_{0}^{x}(\frac{1}{2\sin \frac{t}{2}}-1/t)\sin (n+1/2)tdt=-(\frac{1}{2\sin \frac{x}{2}}-1/x)\frac{\cos (n+1/2)x}{n+1/2}+\frac{1}{n+1/2}\int_{0}^{x}\frac{d}{dt}(\frac{1}{2\sin \frac{1}{2}t}-1/t)\cos (n+1/2)d$$,因分母含有n+1/2趋于无穷(其他因子均有界)，我们很容易得到，该积分趋于0，因此，以s（x）表示级数的和，我们有$s(x)=I-\frac{1}{2}x,x \in (0,2\pi)$,显然，s($\pi$)=0,我们得到$I=\frac{1}{2}\pi$。

问题解决。