有效挖掘题目中的隐含条件[高阶辅导]

前言

隐含条件，不言而喻就是指那些在题目中没有明确表述出来，而确实存在的条件．这些隐藏的条件若不被发掘，在解题时易得出与命题实际要求不相符的结果；或是解题者觉得条件不足而陷于一筹莫展的境地．这是因为数学问题求解的过程，实质上就是从题目所列的信息中不断地挖掘并利用其中的隐含信息进行探索、推理、运算的过程．因此，对一道构思新颖开放的数学命题能否正确、迅速、合理地解答，关键在于能否准确地发掘并充分使用题中的隐含条件．

隐含条件隐藏的深度与广度标志着一个命题的难易程度．一般来说，隐含信息常有以下几种情形：①隐藏在概念或性质中；②隐藏在几何图形的特殊位置中；③隐藏在命题的结构形式中；④隐藏在某些特定句子中；⑤隐藏在相关的特殊数字中；⑥隐藏在所求的结论中．只要我们深入剖析命题的结构特征，领悟相关语句的含义，从最基本的知识入手分析、设想、探究，就不难发掘出需要的隐含条件．

以上情形可总结为歌诀：

　概念公式要用活，特定条件别丢落.题中藏图善识破，增减极值可把舵.结构模糊细琢磨，摸准模型思路豁.条件简洁重探索，特殊句式别放过.关键数字须把握，变式想象要灵活.条件隐含于结果，反推析异来捕捉.　

弧度制

【北京人大附中高一试题】已知扇形的周长是\(10cm\)，面积是\(4cm^2\)，则扇形的圆心角的弧度数是【】

$A.8$ $B.\cfrac{1}{2}$ $C.8或\cfrac{1}{2}$ $D.2$

分析：设扇形的弧长为\(l\)，半径为\(r\)，圆心角为\(\theta\)，

由题意可得，\(\left\{\begin{array}{l}{l+2r=10}\\{\cfrac{1}{2}lr=4}\end{array}\right.\) 解得\(\left\{\begin{array}{l}{l=8}\\{r=1}\end{array}\right.\) 或\(\left\{\begin{array}{l}{l=2}\\{r=4}\end{array}\right.\)

故\(\theta=\cfrac{l}{r}=8\)或\(\theta=\cfrac{1}{2}\)，但是扇形的圆心角\(\theta<2\pi\)，故舍去\(\theta=8\)，选\(B\)。

定义域对称

设函数\(f(x)\)是定义在区间\([-2b，3+b]\)上的偶函数，即告诉了\(b\)的值；

分析：由于函数具有奇偶性，故定义域关于原点对称，即\(-2b+3+b=0\)，解得\(b=3\)；

已知函数\(y=f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，且\(x\geqslant 0\)时，\(f(x)=2^x+x^3+a\)，则告诉了\(a\)的值；

分析：在原点\((0,0)\)有定义的奇函数，必然满足\(f(0)=0\)，由\(f(0)=2^0+0^3+a=0\)，即\(a+1=0\)，解得\(a=-1\)；

周期性给出参数值

设函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上且周期为\(2\)的函数，在区间\([-1,1]\)上，\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{ax+1，-1\leqslant x<0}\\{\cfrac{bx+2}{x+1}，0\leqslant x\leqslant 1}\end{array}\right.\)，其中\(a,b\in R\)，若\(f(\cfrac{1}{2})=f(\cfrac{3}{2})\)，求\(a,b\)的值；

分析：由于函数的周期为\(2\)，则可知\(f(-1)=f(1)\)，化简得到\(b=-2a\)①；

又已知\(f(\cfrac{1}{2})=f(\cfrac{3}{2})\)，即\(f(\cfrac{1}{2})=f(-\cfrac{1}{2})\)，化简得到\(3a+2b=-2\)②；

联立解得\(a=2\)，\(b=-4\)。

区间的给定

求函数\(f(x)\)在区间\([a^2，a]\)上的最大值，

分析：由于\(a^2<a\)，解得\(0<a<1\)，即题目内含了参数\(a\)的取值范围；

解析式含性质

• 此时需要注意，解不等式所需要的函数性质都涵盖在函数的解析式中，所以需要我们自主挖掘这些隐含条件。

【2017\(\cdot\)榆林模拟】函数\(f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}+sinx\)，则不等式\(f(a-2)+f(a^2-4)<0\)的解集是【】

$A.(\sqrt{3}，2)$ $B.(-3，2)$ $C.(1，2)$ $D.(\sqrt{3}，\sqrt{5})$

分析：这类题目往往需要取得符号\(f\)，而在此之前，需要转化为\(f(M)<( 或>)f(N)\)的形式，

然后利用定义域和单调性去掉对应法则符号，就转化为了一般的不等式组了。

解析：先求定义域，令\(\cfrac{1+x}{1-x}>0\)，解得定义域\((-1，1)\)；

再求奇偶性，\(f(-x)=ln\cfrac{1-x}{1+x}-sinx\)，\(f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}+sinx\)，所以\(f(-x)+f(x)=0\)，

故函数为奇函数；最后分析单调性，

法一，基本函数法，令\(g(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}=ln(-1-\cfrac{2}{x-1})\)，由于\(u=-1-\cfrac{2}{x-1}\)为增函数，

所以函数\(g(x)\)为增函数，故函数\(f(x)=g(x)+sinx\)为\((-1，1)\)上的增函数，

法二，导数法，\(f'(x)=\cfrac{2}{1-x^2}+cosx>0\)，故函数\(f(x)\)为\((-1，1)\)上的增函数，到此需要的性质基本备齐了，

由\(f(a-2)+f(a^2-4)<0\)，变换得到\(f(a-2)<-f(a^2-4)=f(4-a^2)\)，

由定义域和单调性得到以下不等式组：

\(\begin{cases}-1<a-2<1\\ -1<a^2-4<1 \\a-2<4-a^2 \end{cases}\)，解得\(\sqrt{3}<a<2\)，故选\(A\)。

三角函数值

若\(\cfrac{1}{\sin\alpha}+\cfrac{1}{\cos\alpha}=\sqrt{3}\)，则可知\(-1<\sin\alpha<1\)，\(-1<\cos\alpha<1\)，且\(\sin\alpha\neq 0\)，\(\cos\alpha\neq 0\)，

角的范围压缩

已知\(\alpha\in [\cfrac{\pi}{4}，\pi]\)，且\(sin2\alpha=\cfrac{\sqrt{5}}{5}\)，求\(cos2\alpha\)的值；

分析：由\(\alpha\in [\cfrac{\pi}{4}，\pi]\)，则可知\(2\alpha\in [\cfrac{\pi}{2}，2\pi]\)，

又由于\(sin2\alpha=\cfrac{\sqrt{5}}{5}>0\)， 则可知\(2\alpha\in [\cfrac{\pi}{2}，\pi]\)，则\(cos2\alpha=-\cfrac{2\sqrt{5}}{5}\)。

且由\(2\alpha\in [\cfrac{\pi}{2}，\pi]\)可以将范围进一步压缩为\(\alpha\in [\cfrac{\pi}{4}，\cfrac{\pi}{2}]\)。

解后反思：利用三角函数值的正负或其大小，我们可以将角的范围进行压缩，其目的还是为了利用平方关系求值后方便取舍值的正负。

设\(\alpha\)、\(\beta\)都是锐角，且\(cos\alpha=\cfrac{\sqrt{5}}{5}\)，\(sin(\alpha+\beta)=\cfrac{3}{5}\)，则\(cos\beta\)等于【】

$A.\cfrac{2\sqrt{5}}{25}$ $B.\cfrac{2\sqrt{5}}{5}$ $C.\cfrac{2\sqrt{5}}{25}或\cfrac{2\sqrt{5}}{5}$ $D.\cfrac{2\sqrt{5}}{25}或\cfrac{\sqrt{5}}{5}$

分析：由已知可得：\(sin\alpha=\cfrac{2\sqrt{5}}{5}\)，\(cos(\alpha+\beta)=\pm \cfrac{4}{5}\)，

若\(cos(\alpha+\beta)=\cfrac{4}{5}>\cfrac{\sqrt{5}}{5}=cos\alpha\)，则有\(\alpha+\beta<\alpha\)，

即\(\beta<0\)，这与\(\beta\)为锐角矛盾舍去，故\(cos(\alpha+\beta)=-\cfrac{4}{5}\)，

所以\(cos\beta=cos[(\alpha+\beta)-\alpha]=cos(\alpha+\beta)cos\alpha+sin(\alpha+\beta)sin\alpha\)

\(=\cfrac{2\sqrt{5}}{25}\)，故选\(A\)。

三角中的辅助角

【2018陕西省第三次质量检测文科数学第10题改编】已知函数\(f(x)=sin\omega x+acos \omega x(\omega>0)\)的最小正周期为\(\pi\)，且函数\(f(x)\)的图像的一条对称轴是\(x=\cfrac{\pi}{12}\)，求函数\(f(x)\)的最大值。

分析：\(f(x)=\sqrt{a^2+1}sin(\omega x+\phi)\)，其中\(tan\phi=a\)，由最小正周期为\(\pi\)，可知\(\omega =2\)，

即\(f(x)=\sqrt{a^2+1}sin(2x+\phi)\)，又由一条对称轴是\(x=\cfrac{\pi}{12}\)，

则\(2\cdot \cfrac{\pi}{12}+\phi=k\pi+\cfrac{\pi}{2}\)，求得\(\phi=k\pi+\cfrac{\pi}{3}(k\in Z)\)，

令\(k=0\)，即\(\phi=\cfrac{\pi}{3}\)。则有\(tan\phi=tan\cfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}=a\)，故\(f(x)_{max}=\sqrt{a^2+1}=2\)。

解后反思：大多时候使用辅助角公式，我们只强调辅助角的存在性，而并不注重其大小到底是多少，但是有的题目中就需要我们求出这个辅助角的大小。

判别式使用

直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases}x=\cfrac{\sqrt{3}}{2}t+m\\y=\cfrac{1}{2}t\end{cases}(t为参数)\)，设点\(P(m，0)\)，直线与曲线\(C：(x-1)^2+y^2=1\)交于\(A、B\)两点，且\(|PA||PB|=1\)，求非负实数\(m\)的值。

分析：将直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases}x=\cfrac{\sqrt{3}}{2}t+m\\y=\cfrac{1}{2}t\end{cases}(t为参数)\)，代入曲线\(C：(x-1)^2+y^2=1\)，

化简为\(t^2+\sqrt{3}(m-1)t+m^2-2m=0\)，由\(\Delta=3(m-1)^2-4(m^2-2m)>0\)得到，\(-1<m<3\)，

又\(m\)为非负实数，故\(0\leq m<3\)，

设点\(A、B\)对应的参数分别为\(t_1，t_2\)，则有\(t_1\cdot t_2=m^2-2m\)，

由\(|PA||PB|=1\)，得到\(|t_1\cdot t_2|=|m^2-2m|=1\)，解得\(m=1\)或\(m=1\pm \sqrt{2}\)；

又由于\(0\leq m<3\)，故\(m=1\)或\(m=1+\sqrt{2}\)。

解后反思：本题目如果不注意\(\Delta >0\)的限制条件，就会出现增根\(m=1-\sqrt{2}\)。

在直角坐标系\(xOy\)中，直线\(l\)是过定点\(P(4，2)\)且倾斜角为\(\alpha\)的直线；在极坐标系中，曲线\(C\)的极坐标方程为\(\rho=4cos\theta\).

⑴写出直线\(l\)的参数方程，并将曲线\(C\)的极坐标方程化为直角坐标方程；

⑵若曲线\(C\)与直线\(l\)相交于不同的两点\(M、N\)，求\(|PM|+|PN|\)的取值范围.

分析：⑴直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases} x=4+cos\alpha\cdot t \\ y=2+sin\alpha\cdot t \end{cases}(t为参数)\)，曲线\(C\)的直角坐标方程为\(x^2+y^2=4x\)；

⑵课件地址

法2：通法，将\(\begin{cases} x=4+cos\alpha\cdot t \\ y=2+sin\alpha\cdot t \end{cases}(t为参数)\)代入\(C：x^2+y^2=4x\)，

得到\(t^2+4(sin\alpha+cos\alpha)t+4=0\)，

则必然满足条件\(\begin{cases} &\Delta=16(sin\alpha+cos\alpha)^2-16>0\\ &t_1+t_2=-4(sin\alpha+cos\alpha)\\&t_1\cdot t_2=4\end{cases}(t为参数)\)，

由此得到\(sin\alpha\cdot cos\alpha>0\)，又\(\alpha\in [0，\pi)\)，

故压缩范围得到\(\alpha\in (0，\cfrac{\pi}{2})\)，又由\(t_1+t_2=-4(sin\alpha+cos\alpha)<0\)，故可知\(t_1<0\)，\(t_2<0\)，

则\(|PM|+|PN|=|t_1|+|t_2|=-(t_1+t_2)=4(sin\alpha+cos\alpha)=4\sqrt{2}sin(\alpha+\cfrac{\pi}{4})\)，

由\(\alpha \in (0，\cfrac{\pi}{2})\) ，得到\(\alpha+\cfrac{\pi}{4}\in (\cfrac{\pi}{4}，\cfrac{3\pi}{4})\)，

则\(\cfrac{\sqrt{2}}{2}< sin(\alpha+\cfrac{\pi}{4}) \leq 1\)，

故$ 4\sqrt{2}\times \cfrac{\sqrt{2}}{2}< 4\sqrt{2}\cdot sin(\alpha+\cfrac{\pi}{4}) \leq 4\sqrt{2}\times 1 $，

即就是$|PM|+|PN|\in(4，4\sqrt{2}] $.

反思：本题目如果不注意\(\Delta >0\)，则\(\alpha\)的范围必然出错，从而导致取值范围出错。

不等式隐含条件

求\(f(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x}(0<x<2)\)的最小值。

详解：注意到隐含条件\(x+(2-x)=2，x>0，2-x>0\)，则容易看到题目其实为

已知\(x+(2-x)=2\)，\(x>0，2-x>0\)，求\(f(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x}(0< x <2)\)的最小值。

\(f(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x}=\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x})\times 2\)

\(=\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x})[x+(2-x)]\)

\(=\cfrac{1}{2}(1+4+\cfrac{2-x}{x}+\cfrac{4x}{2-x})\)

\(\ge \cfrac{1}{2}(5+2\sqrt{\cfrac{2-x}{x}\cdot \cfrac{4x}{2-x}})=\cfrac{9}{2}\)

当且仅当\(\cfrac{2-x}{x}=\cfrac{4x}{2-x}\)，即\(x=\cfrac{2}{3}\)时取到等号。

解后反思：本题目如果不注意\(x+(2-x)=2\)的限制条件，就不会将题目顺利转化为限定条件下的均值不等式求最值问题，使用其他的思路可能会非常麻烦。

若不等式\(log_a^2x+alog_a{x^2}+4>0\)对任意\(x\in (0,+\infty)\)恒成立，则实数\(a\)的取值范围是________________。

分析：令\(log_ax=t\)，由于\(x\in (0,+\infty)\)，则此时不论底数\(a\)为何值，都有\(t\in R\)，故原题等价转化为

\(t^2+2at+4>0\)对\(t\in R\)恒成立，故只需要\(\Delta=4a^2-16<0\)即可，解得\(-2<a<2\)，

又由于隐含条件\(a>0\)且\(a\neq 1\)，故\(a\in (0,1)\cup(1,2)\)。

若\(log_a(a^2+1)<log_a2a<0\)，则\(a\)的取值范围是_______________。

分析：本题目隐含条件，\(a^2+1>2a\)，则得到\(0<a<1\)，又由\(log_a2a<0\)，得到\(a>\cfrac{1}{2}\)，故\(a\in (\cfrac{1}{2}，1)\).

恒过定点

函数或者曲线恒过定点的问题，往往是隐含在题目中的；在这篇博文中，有分门别类的恒过定点的总结，望仔细体会。函数或曲线恒过定点总结

解不等式隐含条件

关于\(x\)的不等式\(ax-b<0\)的解集是\((1,+\infty)\)，则关于\(x\)的不等式\((ax+b)(x-3)>0\)的解集是【】

$A.(-\infty，-1)\cup(3，+\infty)$ $B.(1，3)$ $C.(-1，3)$ $D.(-\infty，1)\cup(3，+\infty)$

分析：由不等式\(ax-b<0\)的解集是\((1,+\infty)\)，即\(ax<b\)的解集是\((1,+\infty)\)，则\(a=b<0\)，

故不等式\((ax+b)(x-3)>0\)可化为\((x+1)(x-3)<0\)，解得\(-1<x<3\)，故选\(C\).

比如特别注意：\(x^2\pm x+1>0\)；\(|x|\ge 0\)；\(x^2\ge 0\)；\(e^x>0\)，\(e^{-x}>0\)

在具体题目中，

• \(\cfrac{e^x(2ax^3-3ax^2+2bx-b)}{x^2}=0\)，可以等价转化为\(2ax^3-3ax^2+2bx-b=0\)
  

• \(\cfrac{e^x(x+1)(x-2)}{x}>0\)可以等价转化为\(\cfrac{(x+1)(x-2)}{x}>0\)，
  

• \(\cfrac{x^2-4x+3}{e^x}>0\)可以等价转化为\((x-1)(x-3)>0\)；
  

已知性质推未知性质。

①熟练掌握以下的变形和数学思想方法：

比如对称性+奇偶性\(\Longrightarrow\)周期性的变形例子

如，已知函数\(f(x)\)是奇函数，且满足\(f(2-x)=f(x)\)，

则由\(\begin{align*} f(2-x)&=f(x) \\ - f(-x)&= f(x)\end{align*}\) \(\Bigg\}\Longrightarrow f(2-x)=- f(-x)\Longrightarrow f(2+x)=- f(x)\Longrightarrow\)周期\(T=4\)

奇偶性+周期性\(\Longrightarrow\)对称性的变形例子

如，已知函数\(f(x)\)是奇函数，且满足\(f(x+4)=-f(x)\)，

则由\(\begin{align*} f(x+4)&=-f(x) \\ f(-x)&=-f(x)\end{align*}\) \(\Bigg\}\Longrightarrow f(x+4)=f(-x)\Longrightarrow\)对称轴是\(x=2\)

对称性+周期性\(\Longrightarrow\)奇偶性的变形例子

如，已知函数\(f(x)\)的周期是2，且满足\(f(2+x)=f(-x)\)，

则由\(\begin{align*} f(2+x) &=f(-x) \\ f(2+x) &= f(x)\end{align*}\) \(\Bigg\}\Longrightarrow f(-x)= f(x)\Longrightarrow\)函数\(f(x)\)是偶函数。

②奇偶性、单调性和定义域来推导：\(x>0\)时，\(f(x)>0\)，

【2017天津高考卷】已知奇函数\(f(x)\)在\(R\)上是增函数，则有\(x>0\)时，\(f(x)>0\)，\(f(0)=0\)，\(x<0\)时，\(f(x)<0\)，

数列变形方向

• 已知\(S_n=2a_n+3\)，求通项公式\(a_n\)，由于所求与\(S_n\)无关，故需要消去\(S_n\)类。

• 已知\(S_{n+1}=S_n+2n+1\)，令\(b_n=a_n+1\)，求证数列\(\{b_n\}\)是等比数列，则先需要消去\(S_n\)类，得到结果为\(a_{n+1}=3a_n+2\)，再给两边同时加常数\(1\)，这样的变形都是从题目中可以看出来的。

• 出现\(b_n=\cfrac{1}{a_n\cdot a_{n+1}}\)，则可能需要裂项相消法。

解析式

已知函数\(f(x)\)满足\(f(\cfrac{2}{x+|x|})=log_2\sqrt{x|x|}\)，则\(f(x)\)的解析式是___________。

分析：由给定的解析式可知，题目中隐含条件\(x>0\)，

那么在\(x>0\)的前提下，可以化简\(f(\cfrac{2}{x+x})=log_2\sqrt{x\cdot x}\)，

即\(f(\cfrac{1}{x})=log_2 x\)，代换得到所求的解析式为\(f(x)=-log_2x(x>0)\).

导数

【2019河南联考】已知曲线\(f(x)=x+\cfrac{a}{x}+b(x\neq 0)\)在点\((1,f(1))\)处的切线方程为\(y=2x+5\)，则\(a-b\)=_____________。

分析：切点即在曲线上，也在直线上；求\(f(1)\)的值，不是利用\(f(x)\)求解，而是利用\(y=2x+5=7\)解得，故\(f(1)=7\)。