例说数学学习中的四基

前言

四基提法

“四基”就是基础知识、基本就能、思想方法、活动经验，以前的学习中习惯把基础知识和基本技能称双基，后来添加了思想方法，就成了三基，再后来，又添加了活动经验，就成了四基。这应该是2018年的最新的提法了。那么怎么理解这些东西，有人说是老师的事，不需要学生知道这些，我倒认为学生了解一下很有好处。在高中数学的学习过程中，有一部分学生只是一味的喊苦，总想着不在基础知识的积累上下功夫，而是想怎么能一步到位，直接就能解决好多的综合题目。其实这时没有弄清楚这几个的关系。好多过来人(或者说读过书的人)都有感触，学数学和干其他的事情都是一样的。一旦基础有问题，那么要提高就很困难。先有基础知识，后有综合应用，这是时间轴上的先后关系，或者说是因果关系。只有基础知识的扎实，才会游刃有余的悠闲，先苦后甜，因此要下功夫打好基础。

是学生不知道这个关系吗？非也，是急功近利惹的祸。现在的学生都不想吃苦，总是一厢情愿的耍弄自己的小聪明，想着绕过基础，直达目的地。等到头撞南墙的时候，自然就从内心认可了基础的重要性。当然其中也有一部分学困生，下面的举例主要针对这部分学生展开。真正的聪明人请绕行。

那么到底什么是“四基”，这四个是怎么组合在一起的，能不能举个实例感受一下呢？这里刚好有一个数列的例子。

例说四基

【2017吉安模拟】数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项的和为\(S_n\)，\(a_1=1\)，\(S_{n+1}=4a_n+2(n\in N^*)\)，设\(b_n=a_{n+1}-2a_n\)。

(1)、求证：\(\{b_n\}\)是等比数列；

【知识储备】等比数列的证明方法：定义法或等比中项法；\(S_{n+1}-S_n=a_{n+1}\)；

分析：由于题目要证明等比数列，我们想到用定义法，自然会想到需要证明\(\cfrac{b_n}{b_{n-1}}=常数\)，【这是基本知识】

当我们结合题目将\(\cfrac{b_n}{b_{n-1}}=\cfrac{a_{n+1}-2a_n}{a_n-2a_{n-1}}=\cdots=常数\)，我们看到这里一般都会感觉变形比较难，

所以由结果到已知条件这样的变形方向一般会放弃，从而重新选择变形方向，

此时可以考虑从已知条件入手到结果的方向分析，变形得到\(\cfrac{b_n}{b_{n-1}}= 常数\)，【这是基本经验】

确定了变形方向后，我们需要分析：已知条件中有\(a_n\)类和\(S_n\)类，而求解的式子中没有\(S_n\)类，故想到消掉\(S_n\)类；

为了消掉\(S_n\)类，我们需要根据\(S_{n+1}\)来构造\(S_n\)，以便作差消掉；【这是基础知识和基本经验】

解析：当\(n\ge 1\)时，\(S_{n+1}=4a_n+2\)，

当\(n\ge 2\)时，\(S_n=4a_{n-1}+2\)，作差得到

\(S_{n+1}-S_n=4a_n-4a_{n-1}(n\ge 2)\)，【这是基本变形技能】

即\(a_{n+1}=4a_n-4a_{n-1}(n\ge 2)\)，注意到\(b_n=a_{n+1}-a_n\)，说明最起码左边还差一个\(-2a_n\)，【这是基本经验】

故变形如下：即\(a_{n+1}-2a_n=2a_n-4a_{n-1}(n\ge 2)\)，即\(a_{n+1}-2a_n=2(a_n-2a_{n-1})(n\ge 2)\)，【这是基本变形技能】

故\(b_n=2b_{n-1}\)；到此如果直接想到变形为\(\cfrac{b_n}{b_{n-1}}=2\)；

说明你的基础知识不牢固；因为前者是后者的必要不充分条件，由前者不能得到后者，还需要补充条件\(b_1\neq 0\)；【这是基础知识积累】

以下想方法求解\(b_1\)，当\(n=1\)时，\(S_2=a_1+a_2=4a_2+2\)，故\(a_2=5\)

则有\(b_1=a_2-2a_1=5-2=3\neq 0\)，故此时才可以将\(b_n=2b_{n-1}\)改写为\(\cfrac{b_n}{b_{n-1}}=2\)；

此时我们才能合情合理的作出判断：数列\(\{b_n\}\)是首项为3，公比为2的等比数列。 【这是基础知识积累】

反思总结：1、庖丁解牛式的解题方式，或许能帮助你找出自身的不足。

2、借助此题我们想说明，基础知识稍微差一点，都不能将综合题目顺利的做出来。基础知识的积累本来就不需要别人不停的强调。

(2)、设\(c_n=\cfrac{a_n}{3n-1}\)，求证：\(\{c_n\}\)是等比数列；

【预备知识】模型：已知\(a_{n+1}=pa_n+q(p、q为常数)\)求\(a_n\)的思路方法；

模型：已知\(a_{n+1}=pa_n+q\cdot p^n(p、q为常数)\)求\(a_n\)的思路方法；

等差数列的判定定义法\(a_{n+1}-a_n=d(d常数)\)，以及\(a_n\)的内涵，比如具体题目中\(a_n\)位置上可能是代数式\(\cfrac{b_{n+1}}{3^{n+1}}\)；等比数列的判定定义法\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=q(q常数)\)；

分析：要证明\(\{c_n\}\)是等比数列，你自然会推测出需要先求解\(a_n\)，而要求解\(a_n\)，就需要先写出\(b_n\)的通项公式； 【这是基本经验】

解析：由(1)可得，\(b_n=3\cdot 2^{n-1}\)；即\(a_{n+1}-2a_n=3\cdot 2^{n-1}\)；

当将\(a_{n+1}-2a_n=3\cdot 2^{n-1}\)变形为\(a_{n+1}=2a_n+3\cdot 2^{n-1}\)；；

接下来，你必然要预判进一步的变形方向，在你的知识储备库中应该能查询到模型\(a_{n+1}=pa_n+q(p、q为常数)\)【这是基础知识积累】

当将\(a_{n+1}-2a_n=3\cdot 2^{n-1}\)变形为\(a_{n+1}=2a_n+3\cdot 2^{n-1}\)；你应该能看到二者的差距比较接近；

比照模型不一样的是，在常数\(q\)的位置上出现的不是常数而是变数\(3\cdot 2^{n-1}\)，故我们想到需要两边同除以\(2^{n-1}\)，以便缩小和模型的差距

故变形如下\(\cfrac{a_{n+1}}{2^{n-1}}=\cfrac{2a_n}{2^{n-1}}+3\)，整理得到\(\cfrac{a_{n+1}}{2^{n-1}}=\cfrac{a_n}{2^{n-2}}+3\)，【这是基本变形技巧】

到此，你要能看出来，等差数列的大体模型已经出来了，即\(\cfrac{a_{n+1}}{2^{n-1}}-\cfrac{a_n}{2^{n-2}}=3\)，

即数列\(\{\cfrac{a_n}{2^{n-2}}\}\)的后项与其前项的差是常数3。【这是基本数学素养，数学经验】

再计算出其首项\(\cfrac{a_n}{2^{n-2}}=\cfrac{a_1}{2^{1-2}}=2\)后，就可以做等差数列的结论了。

故数列\(\{\cfrac{a_n}{2^{n-2}}\}\)是首项为2，公差为3的等差数列。则\(\cfrac{a_n}{2^{n-2}}=2+3(n-1)=3n-1\)，故\(a_n=(3n-1)\cdot 2^{n-2}\)。

则\(c_n=\cfrac{a_n}{3n-1}=2^{n-2}\)，如果是选择填空题目，到此我们就可以做结论了。

这是因为\(c_n\)是指数型函数，可以由此判断等比数列了。【这是基础知识积累】

这里要求证明，我们用定义法。

构造：当\(n\ge2\)时，\(c_{n-1}=2^{n-3}\)；

故有\(\cfrac{c_n}{c_{n-1}}=\cfrac{2^{n-2}}{2^{n-3}}=2 (n\ge 2)\)，又\(c_1=2^{1-2}=\cfrac{1}{2}\)

故数列\(\{c_n\}\)是首项为\(\cfrac{1}{2}\)，公比为2的等比数列。【这是基础知识积累】

反思总结：1、几个基本类型组合到一起，就是个综合题目。

2、怎么把这些基本类型的求解方法串起来，可能就是人家所说的数学素养吧。