用导函数的图像判断原函数的单调性
用导函数的图像判断原函数的单调性
前言
用导函数的图像判断原函数的单调性，其本质就是利用\(f'(x)\)的正负，判断\(f(x)\)的增减； 回顾：符号法则
典例剖析
- 给定\(f'(x)\)的图像，确定\(f(x)\)的单调性，最简单层次
分析：本题目考查对导函数的图像的解读能力，和应用图像的意识；
由于在\((4,5)\)上，有\(f^{\prime}(x)>0\)恒成立，故\(f(x)\)是增函数，故选\(C\).
- 用图像确定\(f'(x)\)的正负，确定\(f(x)\)的单调性，
分析：由图可知，
当\(x<-1\)时，\(y<0\)，故由符号法则可知\(f'(x)>0\)；
当\(-1<x<0\)时，\(y>0\)，故由符号法则可知\(f'(x)<0\)；
当\(0<x<1\)时，\(y<0\)，故由符号法则可知\(f'(x)<0\)；
当\(x>1\)时，\(y>0\)，故由符号法则可知\(f'(x)>0\)；
从而可知当\(x<-1\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\nearrow\)；
当\(-1<x<1\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\searrow\)；
当\(x>1\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\nearrow\)；故选C。
分析：当\(x<-2\)时，则有\(1-x>0\)，又\(y>0\)，故由符号法则可知\(f'(x)>0\)；
当\(-2<x<1\)时，则有\(1-x>0\)，又\(y<0\)，故由符号法则可知\(f'(x)<0\)；
当\(1<x<2\)时，则有\(1-x<0\)，又\(y>0\)，故由符号法则可知\(f'(x)<0\)；
当\(x>2\)时，则有\(1-x<0\)，又\(y<0\)，故由符号法则可知\(f'(x)>0\)；
从而可知当\(x<-2\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\nearrow\)；
当\(-2<x<2\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\searrow\)；
当\(x>2\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\nearrow\)；故选\(D\)。
*解不等式确定\(f^{\prime}(x)\)的正负，确定\(f(x)\)的单调性，
分析：结合图像可知，
当\(x\in(-\infty，2]\)时，\(2^{f^{\prime}(x)}≥1\)， 即\(f^{\prime}(x)≥0\)；当\(x\in (2,+\infty)\)时， \(2^{f^{\prime}(x)}<1\)， 即\(f^{\prime}(x)<0\)；
故函数\(y=f(x)\)的递减区间为\((2,+\infty)\)。故选\(D\)。
1、给定函数\(y=(x^2-3x+2)\cdot f'(x)\)的图像，先推断\(f'(x)\)的正负，再确定\(f(x)\)的单调性；
2、已知\((x^2-3x+2)\cdot f'(x)>0\)，判断\(f(x)\)的单调性；
分析：由 \(y=f^{\prime}(x)\) 的图像是先上升后下降可知，函数 \(y=f(x)\)图像的切线的斜率先增大后减小，故选\(B\).
分析：由函数 \(f(x)\) 的图象可知， \(f(x)\) 在\((-\infty, 0)\)上单调递增， \(f(x)\) 在\((0,+\infty)\)上单调递减，
所以在区间\((-\infty, 0)\)上\(f'(x)>0\)， 在\((0,+\infty)\)上\(f'(x)<0\)，只有选项\(D\)满足；故选\(D\).
解析: 因为 \(f(x)=x-2\sin x,\) 所以\(f^{\prime}(x)=1-2\cos x\)
所以当\(0<x<\frac{\pi}{3}\)时， \(f'(x)<0\)， \(f(x)\)单调递减；当\(\cfrac{\pi}{3}<x<\pi\)时， \(f^{\prime}(x)>0\)，\(f(x)\)单调道增；
所以当 \(x=\cfrac{\pi}{3}\)时， \(f(x)\)有极小值，即最小值,
且 \(f(x)_{\min }=f(\cfrac{\pi}{3})=\cfrac{\pi}{3}-2\sin\cfrac{\pi}{3}=\cfrac{\pi}{3}-\sqrt{3}\)
又 \(f(0)=0\)，\(f(\pi)=\pi\)，所以 \(f(x)_{\max }=\pi\)，
由题意得\(|f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant M\)等价于
\(M\geqslant|f(x)_{\max}-f(x)_{\min}|=\pi-(\cfrac{\pi}{3}-\sqrt{3})=\cfrac{2\pi}{3}+\sqrt{3}\)，
所以\(M\) 的最小值为 \(\cfrac{2\pi}{3}+\sqrt{3}\)， 故填写\(\cfrac{2\pi}{3}+\sqrt{3}\)。
(1) . 讨论\(f(x)\)的单调性；
分析：利用导数求导解决，
\(f'(x)=e^x(e^x-a)+e^x\cdot e^x-a^2=\)\(2e^{2x}-e^xa-a^2=(e^x-a)\cdot (2e^x+a)\)，以下针对\(a\)分类讨论如下：
当\(a=0\)时，\(f'(x)>0\)恒成立，\(f(x)\)在区间\((-\infty，+\infty)\)上单调递增。
当\(a >0\)时，令\(f'(x)=0\)，解得\(x=lna\)，
则\(x\in(-\infty，lna)\)时，\(f'(x)<0\)，即在区间\((-\infty，lna)\)上函数\(f(x)\)单调递减；
\(x\in(lna，+\infty)\)时，\(f'(x)>0\)，即在区间\((lna，+\infty)\)上函数\(f(x)\)单调递增；
当\(a <0\)时，令\(f'(x)=0\)，解得\(x=ln(-\cfrac{a}{2})\)，
则\(x\in(-\infty，ln(-\cfrac{a}{2})\)时，\(f'(x)<0\)，即在区间\((-\infty，ln(-\cfrac{a}{2}))\)上函数\(f(x)\)单调递减；
\(x\in(ln(-\cfrac{a}{2})，+\infty)\)时，\(f'(x)>0\)，即在区间\((ln(-\cfrac{a}{2})，+\infty)\)上函数\(f(x)\)单调递增；
综上所述，
当\(a<0\)时，函数\(f(x)\)的单减区间是\((-\infty，ln(-\cfrac{a}{2}))\)，单增区间是\((ln(-\cfrac{a}{2})，+\infty)\)；
当\(a=0\)时，单增区间是\((-\infty，+\infty)\)，无单减区间；
当\(a>0\)时，函数\(f(x)\)的单减区间是\((-\infty，lna)\)，单增区间是\((lna，+\infty)\)；
(2). 【2017全国卷1文科第21题高考真题】当\(x\ge 0\)时，\(f(x)\leq ax+1\)，求\(a\)的取值范围。课件
分析：我们可以利用函数的性质做出函数的大致图像来寻找思路，\(f(0)=1\)，\(f(\sqrt{2}-1)>1\)，且函数在\((0，\sqrt{2}-1)\)上单调递增，在\((\sqrt{2}-1，+\infty)\)上单调递减，故可以做出函数的大致图像如右图所示。再者，函数\(f'(1)=1\)，待编辑。
(2). 【2017全国卷2文科第21题高考真题】若 \(f(x)\ge 0\)，求 \(a\) 的取值范围。
分析：由于要 \(f(x)\ge 0\) 恒成立，故只要求得 \(f(x)_{min}\ge 0\) 即可，又最小值要用到函数的单调性，而函数的单调性又是与 \(a\) 的取值有关，故应该关于 \(a\) 分类讨论：
当 \(a<0\) 时，函数 \(f(x)\) 的单减区间是 \((-\infty，ln(-\cfrac{a}{2}))\)，单增区间是 \((ln(-\cfrac{a}{2})，+\infty)\)；
故 \(f(x)_{min}\)\(=\)\(f(ln(-\cfrac{a}{2}))\)
\(=\)\(e^{ln(-\cfrac{a}{2})}(e^{ln(-\cfrac{a}{2})}-a)-a^2ln(-\cfrac{a}{2})\)\(=\)\(\cfrac{3a^2}{4}-a^2ln(-\cfrac{a}{2})\)，
令 \(\cfrac{3a^2}{4}-a^2ln(-\cfrac{a}{2})\ge 0\) 得到\(a\ge-2e^{\frac{3}{4}}\)，
故 \(-2e^{\frac{3}{4}}\leq a <0\)；
当 \(a=0\) 时，\(f(x)=e^{2x}\ge 0\) 恒成立，故 \(a=0\) 满足题意；
当 \(a>0\) 时，函数 \(f(x)\) 的单减区间是 \((-\infty，lna)\)，单增区间是 \((lna，+\infty)\)；
故 \(f(x)_{min}=f(lna)=e^{lna}(e^{lna}-a)-a^2lna=-a^2lna\)，
令\(-a^2lna\ge 0\)，得到 \(a\leq 1\)，故 \(0<a \leq 1\)；
综上所述，取并集得到\(a\)的取值范围是\([-2e^{\frac{3}{4}}，1]\)。
分析：\(f'(x)=\sin x+x\cdot\cos x-\sin x=x\cdot\cos x\)；
在同一坐标系中，做出函数\(y=x\)和\(y=\cos x\)的图像，\(x\in (-\pi,\pi)\)，
由符号法则可知，单调递增区间为\((-\pi,-\cfrac{\pi}{2})\)和\((0,\cfrac{\pi}{2})\)；
单调递减区间为\((-\cfrac{\pi}{2}，0)\)和\((\cfrac{\pi}{2},\pi)\)；
