独立重复实验与二项分布|概念理解
独立重复实验与二项分布
前言
相关概念
- 独立重复试验
一般地，在相同条件下重复做的\(n\)次试验称为\(n\)次独立重复试验。请注意这一概念的抽象性，比如一个技能精良的狙击手\(10\)次射击[言下之意，由于技能精良，每一次的射击试验结果和上一次的射击试验结果一模一样]，就可以看成做了\(10\)次独立重复试验；再比如取了\(5\)个相同质量的灯泡，相当于做了\(5\)次独立重复试验。
介绍独立重复试验这一概念，是为二项分布做铺垫。
- 二项分布
一般地，在\(n\)次独立重复试验中，设事件\(A\)发生的次数为\(X\)，每次试验中事件\(A\)发生的概率为\(p\)，则事件\(A\)恰好发生 \(k\) 次的概率为\(P(X=k)\)\(=\)\(C_n^k\)\(\cdot\)\(p^k\)\(\cdot\)\((1-p)^{n-k}\)，(\(k=0，1，2，\cdots，n\))，此时称随机变量 \(X\) 服从二项分布，记为 \(X\sim B(n，p)\)，并称 \(p\) 为成功概率注意，此处的成功仅仅是个抽象的叫法，在具体的问题中其含义可能各不相同，比如在射击问题中，若将射中理解为成功，则没有射中就是失败，或者失败就意味着没有射中；再比如考察电路中的灯泡问题，若灯泡正常发光理解为成功，则灯泡不发光就是失败了。 。
解释：二项展开式\([p+(1-p)]^n=1\)中，事件\(A\)发生\(k\)次，即对应展开式中的含\(p^k\)的项，其为\(C_n^k\)\(\cdot\)\(p^k\)\(\cdot\)\(C_{n-k}^{n-k}\)\(\cdot\)\((1-p)^{n-k}\)[解读，即从 \(n\) 次中任取 \(k\) 次成功，即\(p\cdots p=p^k\)，然后从剩余的 \(n-k\) 次中任取 \(n-k\) 次失败，即\((1-p)\cdots(1-p)=(1-p)^{n-k}\)，]，即\(P(X=k)\)\(=\)\(C_n^k\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}\)，
性质[需记忆]： 若随机变量\(X\)服从二项分布，记为\(X\sim B(n，p)\)，则\(E(X)=np\)，\(D(X)=np(1-p)\)；
简单应用
解析：因为\(3\)个灯泡是并联，每个灯泡是否能正常照明是相互独立的，不受其他灯泡的影响，所以可以看成是\(3\)次独立重复试验。
设这段时间内能正常照明的灯泡的个数为\(X\)，即随机变量\(X\)服从参数为\(3\)和\(0.7\)的二项分布，即\(X\sim B(3，0.7)\)，
这段时间内吊灯能照明表示3个灯泡中至少有1个灯泡能正常照明，即\(X＞0\)，
\(P(X＞0)\)\(＝\)\(1－P(X＝0)\)\(＝\)\(1－(1－0.7)^3\)\(＝\)\(0.973\)。
故这段时间内吊灯能正常照明的概率是为 \(0.973\).
概念深化
①每一次射击的事件\(A_1\)、\(A_2\)、\(\cdots\)，\(A_{10}\)之间的关系是什么？
分析：\(A_1\)、\(A_2\)、\(\cdots\)，\(A_{10}\)之间是相互独立的。
②10次射击中恰好前三次击中目标(事件\(A\))的概率；
分析：即第一次，第二次，第三次都击中，相互独立，则为\(0.99\)\(\times\)\(0.99\)\(\times\)\(0.99\)\(=\)\(0.99^3\)，后面剩余的七次都没有击中，也相互独立，故为\((1-0.99)^7=0.01^7\)，\(10\)次之间也是相互独立的，则为\(0.99^3\)\(\times\)\(0.01^7\)；
③10次射击中恰好最后三次击中目标(事件\(B\))的概率。
分析：仿上例分析即可，也是 \(0.99^3\times0.01^7\)；
④事件\(A\)与事件\(B\)是什么关系？
分析：互斥，
⑤ \(10\) 次射击中恰好连续三次击中目标(事件 \(C\) )的概率。
分析：即第\(1,2,3\)次击中的概率为\(0.99^3\)\(\times\)\(0.01^7\)，第\(2,3,4\)次击中的概率为\(0.99^3\)\(\times\)\(0.01^7\)，第\(3,4,5\)次击中的概率为\(0.99^3\)\(\times\)\(0.01^7\)，\(\cdots\)，第\(8,9,10\)次击中的概率为\(0.99^3\)\(\times\)\(0.01^7\)，故共有概率为 \(8\)\(\times\)\(0.99^3\)\(\times\)\(0.01^7\)；
⑥举例说明 \(10\) 次射击中恰好有三次击中目标的事件。
分析：比如第\(1,2,3\)次击中的事件，第\(1,2,8\)次击中的事件，第\(1,5,7\)次击中的事件，第\(2,6,8\)次击中的事件，等等；
⑦事件 \(A\)、\(B\) 与事件 \(C\) 是什么关系？
分析：事件\(C\)包含事件\(A，B\)。
⑧ \(10\) 次射击中恰好有 \(3\) 次击中目标的概率。
分析： 理解好含义，\(10\) 次射击中恰好有 \(3\) 次击中目标，可能是 \(10\) 次中有连续 \(3\) 次击中目标，也可能是 \(10\) 次中有不连续的 \(3\) 次击中目标，则按照二项分布的理解，所求为\(P(X=3)\)，故为\(C_{10}^3\times0.99^3\times0.01^7\)。
⑨ \(10\) 次射击中不少于 \(3\) 次击中目标的概率。
分析：由正难则反可知，\(P=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)\)；
⑩ \(10\) 次射击中不多于 \(3\) 次击中目标的概率。
分析：由题可知，\(P=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\)；
