2020届校级月考[01-03]
分析:本题目的本质是求解函数\(f(x)\)的解析式;属于利用函数的多个性质求解函数的解析式;
[法1]:由于\(f(x+2)+f(x)=0\),即\(f(x+2)=-f(x)\),故\(T=4\),又\(y=f(x)\)是\(R\)上的奇函数,
故可以先利用奇偶性求得\(x\in [0,2]\)上的解析式;
当\(x\in [0,2]\)时,\(f(x)=-f(-x)=-[-(-x)^2-2\times (-x)]=x^2-2x\),
再利用周期性求得\(x\in [4,6]\)上的解析式;
当\(x\in [4,6]\)时,\(x-4\in [0,2]\),\(f(x)=f(x-4)=(x-4)^2-2\times (x-4)=x^2-10x+24\),
接下来求解\(x\in [4,6]\)时函数\(f(x)=x^2-10x+24\)的最小值;
\(f(x)=(x-5)^2-1\),\(x\in [4,6]\),故\(f(x)_{min}=f(5)=-1\);故选\(B\);
[法2]:当求得\(x\in [0,2]\)时,\(f(x)=-f(-x)=-[-(-x)^2-2\times (-x)]=x^2-2x\),
由于函数的周期为\(4\),故函数\(f(x)\)在\(x\in [0,2]\)段上的值域和\(x\in [4,6]\)段上的值域相同,
故只需要求解\(x\in [0,2]\)时,\(f(x)=x^2-2x\)的最小值即可,\(f(x)=(x-1)^2-1\),
故\(f(x)_{min}=f(1)=-1\),故\(x\in [4,6]\)上的最小值也是\(-1\),故选\(B\);
[法3]:如果对函数的性质的数的表达形式比较熟悉,还可以这样求解如下:
由于周期为\(T=4\),故有\(f(x+4)=f(x)\),又由于函数为奇函数,故\(f(x)=-f(-x)\),
则得到\(f(x+4)=-f(-x)\),这个表达式刻画的是函数的对称性,关于点\((2,0)\)成中心对称;
若\(x\in [0,2]\),则此时\(f(-x)\)可解,且\(f(x+4)\)即表达函数在\(x\in [4,6]\)上的解析式;
故\(f(x+4)=-f(-x)=-[[-(-x)^2-2\times (-x)]]=x^2-2x\),\(x\in [0,2]\),
直接求\(y=x^2-2x\),\(x\in [0,2]\)上的最小值即可,同上可知此时\(y_{min}=y_{|x=1}=-1\),
故所求的最小值为\(-1\),故选\(B\);
其实做个代换,即能得到\(x\in [4,6]\)上的解析式;分析如下,
由于\(f(x+4)=x^2-2x\),\(x\in [0,2]\),令\(x+4=t\),则\(t\in [4,6]\),则\(x\in t-4\)
故\(f(t)=(t-4)^2-2(t-4)=t^2-10t+24\),即\(f(x)=x^2-10x+24\),\(x\in [4,6]\);
分析:将已知等式\(f'(x)=e^x(2x+3)+f(x)\)变形为\(\cfrac{f'(x)-f(x)}{e^x}=2x+3\),
令\(g(x)=\cfrac{f(x)}{e^x}\),则\(g'(x)=\cfrac{f'(x)-f(x)}{e^x}\),则\(g'(x)=2x+3\),
则\(g(x)=x^2+3x+C\),又由于\(f(0)=1\),则\(g(0)=\cfrac{f(0)}{e^0}=1\),则可知\(C=1\),
故\(g(x)=x^2+3x+1\),而不等式\(f(x)<5e^x\)即\(g(x)<5\),故\(x^2+3x+1<5\),
得到\(x^2+3x-4<0\),解得\(-4<x<1\),故选\(A\).
则\(f(-2)+f(log_212)\)=_______________.
分析:由题目可知,\(f(-2)=1+log_2[2-(-2)]=1+2=3\);又由于\(log_212>1\),
故\(f(log_212)=2^{log_212-1}=2^{log_212}\times 2^{-1}=12\times \cfrac{1}{2}=6\),
故\(f(-2)+f(log_212)=9\);
分析:做出示意图如下所示,
由图可知,\(x_1\in (0,1)\),\(x_2\in (1,2)\),又由\(f(x_1)=f(x_2)\),即\(|log_2x_1|=|log_2x_2|\),
即\(-log_2x_1=log_2x_2\),即\(log_2x_1+log_2x_2=0\),则\(log_2x_1x_2=0\),即\(x_1x_2=1\);
又第二段函数图像关于直线\(x=6\)对称,即\(x_3,x_4\)关于直线\(x=6\)对称,
故有\(x_3+x_4=2\times 6=12\);故\(\cfrac{x_3+x_4}{x_1x_2}=12\);