直线平面平行的判定和性质
直线平面平行的判定和性质的转化关系图，需要储备的知识，判定难点等。
平行问题中的关系转化示意图
判定线线平行
| 图形语言 | 文字语言 | 符号语言 |
|---|---|---|
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三角形的中位线平行于 第三边，并且等于第三 边的一半 |
\(\left.\begin{array}{r}{AD=BD}\\{AE=CE}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow DE//BC\) |
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如果一条直线截三角形 的两边(或者两边的延 长线)所得的对应线段 成比例，那么这条直线 平行于三角形的第三边。 |
\(\cfrac{AD}{DB}=\cfrac{AE}{EC}\)\(\Rightarrow DE//BC\) |
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平行四边形的对边互相 平行 |
\(\square ABCD\Rightarrow\left\{\begin{array}{r}{AB//CD}\\{AD//BC}\end{array}\right.\) |
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一条直线与一个平面平 行，如果过该直线的平 面与此平面相交，那么 该直线与交线平行。 |
\(\left.\begin{array}{r}{a//\alpha}\\{a\subsetneqq \beta}\\{\alpha\cap\beta=b}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow a//b\) |
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同时垂直于同一个平面 的两条直线平行 |
\(\left.\begin{array}{r}{a\perp\alpha}\\{b\perp\alpha}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow a//b\) |
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两个平面同时和第三个 平面相交，则其交线 平行 |
\(\left.\begin{array}{r}{\alpha//\beta}\\{\alpha\cap\gamma=a}\\{\beta\cap\gamma=b}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow a//b\) |
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如果两条直线都和第三 条直线平行，则这两条直 线平行 [平行关系在空间的传递性] |
\(\left.\begin{array}{r}{a//c}\\{b//c}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow a//b\) |
判定难点
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主从关系的转换，比如证明\(A_1F// DE\)不容易时，我们转而证明\(DE// A_1F\)可能很容易。山重水复疑无路，柳暗花明又一村。
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区分清楚判定定理和性质定理。
常识储备
(1)体对角线\(B'D\perp\)平面\(ACD'\)(如图1)
证明：令体对角线\(B'D\)和平面\(ACD'\)的交点是\(N\)，由正四面体\(B'-ACD'\)可知，
\(N\)是三角形底面的中心，连接\(OD'\)，则易知\(AC\perp BD\)，\(AC\perp BB'\)，故\(AC\perp B'D\)，
同理\(AD'\perp B'D\)，故体对角线\(B'D\perp\)平面\(ACD'\)。
(2)\(DN=\cfrac{1}{3}B'D\)(如图1，利用等体积法)
(3)平面\(ACD'//A'BC'\)(如图2)
(4)平面\(ACD'\)与平面\(A'BC'\)的间距是\(\cfrac{1}{3}B'D\)，即体对角线的\(\cfrac{1}{3}\)(如图2)
(5)三棱锥\(B'-ACD'\)是正四面体。三棱锥\(D-ACD'\)是正三棱锥。
(6)如果需要将正四面体或者墙角型的正三棱锥恢复还原为正方体，我们可以先画出正方体，然后在里面找出需要的正四面体或者墙角型正三棱锥。
(7)圆内接正方形的中心就是圆心，正方形的对角线的长度就是圆的直径；球内接正方体的中心就是球心，正方体的体对角线的长度就是球的直径。
(8)正方形的棱长设为\(2a\)，则正方形的内切圆半径为\(a\)，正方形的外接圆半径为\(\sqrt{2}a\)，三者的关系之比为\(2:1:\sqrt{2}\)；
正方体的棱长设为\(2a\)，则正方体的内切球半径为\(a\)，正方体的外接球半径为\(\sqrt{3}a\)，三者的关系之比为\(2:1:\sqrt{3}\)；
(9)正三角形的棱长设为\(2a\)，则正三角形的内切圆半径为\(\cfrac{\sqrt{3}}{3}a\)，正三角形的外接圆半径为\(\cfrac{2\sqrt{3}}{3}a\)，三者的关系之比为\(2\sqrt{3}:1:2\)；
正四面体的棱长设为\(2a\)，则正四面体的内切球半径为\(\cfrac{\sqrt{6 }}{6}a\)，正四面体的外接球半径为\(\cfrac{\sqrt{6 }}{2}a\)，三者的关系之比为\(2\sqrt{6}:1:3\)；
典例剖析
- 线线平行
分析：由于题目中给定点\(O\)是下底面的中心，故我们想到也做出上底面的中心\(E\)，如图所示，
当连结\(CE\)时，我们就很容易看出\(A_1O//CE\)，以下做以说明；
由于\(OC//A_1E\)，且\(OC=A_1E\)，则可知\(A_1O//CE\)，
又由于\(A_1O\not \subset 面B_1CD_1\)，\(CE \subset 面B_1CD_1\)，故\(A_1O//平面B_1CD_1\) ，故选\(C\)，
此时，我们也能轻松的排除\(A\)，\(B\)，\(D\)三个选项是错误的。
- 线面平行
求证：(1)直线\(DE//\)平面\(A_1C_1F\). 详细分析过程
证明：因为\(D\)、\(E\)分别是\(AB\)、\(BC\)的中点，
则有 \(DE//AC//A_1C_1\)， 故由
备注：关于线面位置的表示符号，已经变换过多次，转换为你所对应使用的版本即可；另外，这种书写形式的逻辑关系非常清晰，建议使用。倒过来就是分析，顺过去就是证明过程。
求证：(2) 平面 \(B_1DE\perp\) 平面 \(A_1C_1F\).
证明1： 结合题目的已知条件，可得
\(\left.\begin{array}{l}{A_1C_1\perp A_1B_1，已知}\\{A_1C_1\perp A_1A，由直三棱柱可知}\\{A_1A\subset 平面ABB_1A_1}\\{A_1B_1\subset 平面ABB_1A_1}\\{A_1B_1\cap A_1B=A_1}\end{array}\right\}\Rightarrow A_1C_1\perp 平面 ABB_1A_1\)
又由于 \(DE//A_1C_1\)，则 \(DE\perp\) 平面 \(ABB_1A_1\)，
又由于 \(A_1F\subset\) 平面 \(ABB_1A_1\)，故 \(DE\perp A_1F\)，即 \(A_1F\perp DE\)，
\(\left.\begin{array}{l}{A_1F\perp B_1D，已知}\\{A_1F\perp DE，已证}\\{B_1D\subset 平面B_1DE}\\{DE\subset 平面B_1DE}\\{B_1D\cap DE=D}\end{array}\right\}\Rightarrow 直线 A_1F\perp平面 B_1DE\)，
又由于 \(A_1F\subset\) 平面 \(A_1C_1F\)，故 平面 \(B_1DE\perp\) 平面 \(A_1C_1F\).
证明2： 结合题目的已知条件，可得
\(\left.\begin{array}{l}{A_1C_1\perp A_1B_1，已知}\\{A_1C_1\perp A_1A，由直三棱柱可知}\\{A_1A\subset 平面ABB_1A_1}\\{A_1B_1\subset 平面ABB_1A_1}\\{A_1B_1\cap A_1B=A_1}\end{array}\right\}\Rightarrow A_1C_1\perp 平面 ABB_1A_1\)
又由于 \(DE//A_1C_1\)，则 \(DE\perp\) 平面 \(ABB_1A_1\)，
又由于 \(A_1F\subset\) 平面 \(ABB_1A_1\)，故 \(DE\perp A_1F\)，即 \(A_1F\perp DE\)，
\(\left.\begin{array}{l}{A_1F\perp B_1D，已知}\\{A_1F\perp DE，已证}\\{B_1D\subset 平面B_1DE}\\{DE\subset 平面B_1DE}\\{B_1D\cap DE=D}\end{array}\right\}\Rightarrow 直线 A_1F\perp平面 B_1DE\)，
又由于 \(A_1F\subset\) 平面 \(A_1C_1F\)，故 平面 \(A_1C_1F\) \(\perp\) 平面 \(B_1DE\).
分析：在棱\(PC\)上存在一点\(F\)，\(F\)为\(PC\)的中点，使得\(BF//\)面\(AEC\)，理由如下：
取\(PE\)的中点\(H\)，\(PC\)的中点\(F\)，联结\(BF\)、\(HF\)、\(BH\)，联结\(AC\)和\(BD\)，交点为\(O\)，
则由\(HF\)是\(\Delta PEC\)的底边\(EC\)的中位线，故\(HF//EC\)；
由\(EO\)是\(\Delta DBH\)的底边\(BH\)的中位线，故\(BH//EO\)；
(说明：这样的话，平面\(BHF\)内的两条相交直线\(HF\)和\(BH\)分别平行与另一个平面\(AEC\)内的两条相交直线\(EO\)和\(EC\)，则这两个平面就平行）
又由于\(HF\subsetneqq\)平面\(BHF\)，\(BH\subsetneqq\)平面\(BHF\)，\(BH\cap HF=H\)，
\(EO\subsetneqq\)平面\(AEC\)，\(EC\subsetneqq\)平面\(AEC\)，\(EO\cap EC=E\)，
则平面\(BHF//\)平面\(AEC\)，
又\(BF\subsetneqq\)平面\(BHF\)，
则有\(BF//\)平面\(AEC\)，猜想得证。
- 面面平行
提示：本来依照线面平行的主要判定思路，需要在平面 \(ABC\) 内寻找一条直线，证明这条直线和 \(GH\) 平行，但是本题目这个思路行不通，那么转化为证明包含直线 \(GH\) 的平面和 平面 \(ABC\) 平行，从而证明线面平行。
取 \(CF\) 的中点为 \(N\) ，由 中位线 \(GN//EF\)，且 \(EF//DB\)，可得\(GN//\)平面 \(ABC\)，
由 中位线 \(NH//CB\)，可得\(NH//\)平面 \(ABC\)，又 \(GN\cap NH=N\)，又 \(GN\)、\(NH\subset\) 平面 \(GNH\)，
故 平面 \(GNH//\) 平面 \(ABC\)，又 \(GH\subset\) 平面 \(GNH\)，
故 \(GH//\) 平面 \(ABC\) .
(1).在图中作出平面\(MNPQ\)，使面\(MNPQ//面SAD\)(不要求证明)；
分析：如图所示，点\(P、Q\)分别是线段\(CD、AB\)的中点，联结\(NP、PQ、QM\)所得的平面即为所求做的平面。
反思总结：1、一般的考法是题目作出这样的平面，然后要求我们证明面面平行，现在是要求我们利用面面平行的判定定理作出这样的平面，应该是要求提高了。
2、注意图中的线的虚实。
(2).【文】若\(|\overrightarrow{AB}|=4\)，在(1)的条件下求多面体\(MNCBPQ\)的体积。
【理】若\(\overrightarrow{AQ}=\lambda \overrightarrow{AB}\)，是否存在实数\(\lambda\)，使二面角\(M-PQ-B\)的平面角大小为\(60^{\circ}\)？若存在，求出\(\lambda\)的值；若不存在，请说明理由。
【文科】法1：
如图所示，连接\(PB、NB\)，有题目可知在(1)的情形下，平面\(MNPQ\)与平面\(ABCD\)垂直，由题目可知，\(AB=4\)，\(BC=PC=2\)，\(SD=2\)，\(NP=1\)，
则\(SD\perp面ABCD\)，\(NP//SD\)，则\(NP\perp 面ABCD\)，
\(\Delta PCB\)是边长为2的等边三角形，则\(V_{N-PBC}=\cfrac{1}{3}\cdot S_{\Delta PBC}\cdot |NP|=\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 4\cdot 1=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)
由\(MN//BC\)，\(MN \perp面SAD\)，面\(MNPQ\)是直角梯形，\(MN=NP=1\)，\(PQ=2\)
连接\(BD\)交\(PQ\)于点\(H\)，在\(\Delta ABD\)中，由余弦定理可知，\(BD=2\sqrt{3}\)，\(AB^2=AD^2+BD^2\)，则\(BD\perp AD\)
即\(BH\perp PQ\)，且\(BH\perp NP\)，故\(BH\perp 面MNPQ\)，
\(V_{B-MNPQ}=\cfrac{1}{3}\cdot S_{MNPQ}\cdot |BH|=\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{(1+2)\cdot 1}{2}\cdot \sqrt{3}=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)
故\(V_{MNCBPQ}=V_{B-MNPQ}+V_{N-PBC}=\cfrac{\sqrt{3}}{2}+\cfrac{\sqrt{3}}{3}=\cfrac{5\sqrt{3}}{6}\)。
法2：
待补充。
【理科】待补充。
