条件概率
前言
条件概率是概率计算中的一类比较容易出错的题目。
条件概率
- 概念:一般的,设\(A\),\(B\)为两个事件,且\(P(A)>0\),则称\(P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}\)为在事件\(A\)发生的条件下,事件\(B\)发生的条件概率。
- 性质:
①\(0\leq P(B|A)\leq 1\);
②若\(B\),\(C\)为两个互斥事件,则\(P(B\cup C|A)=P(B|A)+P(C|A)\);
注意事项
- \(P(B|A)\)和\(P(A|B)\)是两个不同的条件概率。
- 一般情况下,条件概率的计算只能按照条件概率的定义套用公式进行,在计算时要注意搞清楚问题的事件含义,特别注意在事件\(A\)包含事件\(B\)时,\(AB=B\)。
- 对于古典概型的条件概率,计算方法有两种:其一可采用缩减基本事件空间的办法计算\(P(B|A)=\cfrac{n(AB)}{n(A)}\);其二可直接利用定义计算\(P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}\);
典例剖析
法1分析:使用古典概型求解,由于甲获胜的所有情形为\((2,1)\),\((2,1)\),\((2,0)\),\((2,0)\),\((1,0)\),共有5种,
其中在甲获胜的条件下,乙摸出的球上的数字为1的情形为\((2,1)\),\((2,1)\),有2种,
令“在甲获胜的条件下,乙摸出的球上的数字为1”为事件\(A\),则\(P(A)=\cfrac{2}{5}\),故选\(D\)。
法2分析:使用条件概率求解,令“甲获胜”为事件\(A\),“乙摸出的球上的数字为1”为事件\(B\),则所求为\(P(B|A)\);
由于甲、乙都从4个球中分别取出1个球,故所有情形有\(4\times 4=16\)种,则甲获胜的情形有\((2,1)\),\((2,1)\),\((2,0)\),\((2,0)\),\((1,0)\),共有5种,故\(P(A)=\cfrac{5}{16}\),
而事件\(AB\)即“甲获胜且乙摸出的球上的数字为1”的情形有\((2,1)\),\((2,1)\),有2种,即\(P(AB)=\cfrac{2}{16}\),
由条件概率的计算公式可得,\(P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}=\cfrac{\frac{2}{16}}{\frac{5}{16}}=\cfrac{2}{5}\)。
解后反思:①古典概型求解改题目,其实就是压缩了样本空间;
法一:设第一张是奇数记为事件\(A\),第二张是奇数记为事件\(B\),
则\(P(A)=\cfrac{A_5^1A_8^1}{A_9^2}=\cfrac{5}{9}\),\(P(AB)=\cfrac{A_5^2}{A_9^2}=\cfrac{5}{18}\),
所以\(P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}=\cfrac{\frac{5}{18}}{\frac{5}{9}}=\cfrac{1}{2}\);
法二:设第一张是奇数记为事件\(A\),第二张是奇数记为事件\(B\),
\(n(A)=5\times 8=40\),\(n(AB)=5\times 4=20\),所以\(P(B|A)=\cfrac{n(AB)}{n(A)}=\cfrac{20}{40}=\cfrac{1}{2}\)。
分析:记事件\(A\)为这个家用电器已经使用了三年,事件\(B\)为这个家用电器使用到四年,显然\(B\subseteq A\),即事件\(AB=B\),
由题目可知\(P(A)=0.8\),\(P(AB)=0.4\),故\(P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}=\cfrac{0.4}{0.8}=\cfrac{1}{2}\)。
分析:设某一次射中为事件\(A\),随后一次射中为事件\(B\),则\(P(A)=0.7\),\(P(AB)=0.4\),
则\(P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}=\cfrac{0.4}{0.7}=\cfrac{4}{7}\)。
分析:设\(B\)表示取得一等品,\(A\)表示取到合格品,则
法一:由于95件合格品中有70件一等品,又由于一等品也是合格品,所以\(AB=B\),
\(P(B|A)=\cfrac{70}{95}=\cfrac{14}{19}\);
法二:\(P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}=\cfrac{\cfrac{70}{100}}{\cfrac{90}{100}}=\cfrac{14}{19}\)。
法1:条件概率法,由题可知,\(P(AB)=\cfrac{A_5^2}{A_9^2}=\cfrac{5}{18}\),\(P(A)=\cfrac{A_5^1}{A_9^1}=\cfrac{5}{9}\),
故\(P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}=\cfrac{1}{2}\),故选\(D\).
法2:古典概型法,由题可知,\(n(A)=5\times 8=40\),\(n(AB)=5\times 4=20\),故\(P(B|A)=\cfrac{n(AB)}{n(A)}=\cfrac{20}{40}=\cfrac{1}{2}\);