求自变量的取值范围时需要注意的角度

前言

以下情形，其实质是不等式性质的灵活应用；在求解函数自变量的取值范围时，我们能想到用不等式的性质，让我们感觉比较难的是，列不等式组时如何确保所有的角度我们都能考虑到，不至于遗漏造成错误。

扇形面积计算

若扇形的周长是一个定值\(C(C>0)\)，当\(\alpha\)为多少弧度时，该扇形有最大面积？

分析：设扇形的弧长为\(l\)，半径为\(R\)，则\(C=2R+l\)，即\(l=C-2R\)；

由\(\left\{\begin{array}{l}{l>0}\\{R>0}\end{array}\right.\)，即\(\left\{\begin{array}{l}{C-2R>0}\\{R>0}\end{array}\right.\)，

解得，\(0<R<\cfrac{C}{2}\)；

由\(S=\cfrac{1}{2}\cdot l\cdot R=\cfrac{1}{2}\cdot (C-2R)\cdot R\)

\(=-R^2+\cfrac{C}{2}R=-(R-\cfrac{C}{4})^2+\cfrac{C^2}{16}\)

故当\(R=\cfrac{C}{4}\)时，\(S_{max}=\cfrac{C^2}{16}\)；

此时，\(l=C-2R=\cfrac{C}{2}\)，即此时\(\alpha=\cfrac{l}{R}=2 (rad)\)。

均值不等式求面积

若矩形的周长是一个定值\(C(C>0)\)，当长和宽为多少时，该矩形有最大面积？

分析：设矩形的长为\(x\)，则宽\(y=\cfrac{C}{2}-x\)，

由\(\left\{\begin{array}{l}{x>0}\\{y>0}\end{array}\right.\)，即\(\left\{\begin{array}{l}{x>0}\\{\cfrac{C}{2}-x>0}\end{array}\right.\)，

解得，\(0<x<\cfrac{C}{2}\)；

又由于\(S=xy=x\cdot (\cfrac{C}{2}-x)\leq [\cfrac{x+(\cfrac{C}{2}-x)}{2}]^2=\cfrac{C^2}{16}\)，

当且仅当\(x=\cfrac{C}{2}-x\)，即\(x=y=\cfrac{C}{4}\in (0，\cfrac{C}{2})\)时取得等号。

二次型函数值域求解

若\(sinx+siny=\cfrac{1}{3}\)，则\(M=sinx-cos^2y\)的最大值与最小值的差为________________。

分析：由于\(sinx+siny=\cfrac{1}{3}\)，

所以\(sin=\cfrac{1}{3}-siny\)，

由于\(\left\{\begin{array}{l}{-1\leq siny\leq 1}\\{-1\leq sinx\leq 1}\end{array}\right.\)

即就是，\(\left\{\begin{array}{l}{-1\leq siny\leq 1}\\{-1\leq \cfrac{1}{3}-siny\leq 1}\end{array}\right.\)

解得\(-\cfrac{2}{3}\leq siny\leq 1\)；

又由于\(M=\cfrac{1}{3}-siny-cos^2y=(siny-\cfrac{1}{2})^2-\cfrac{11}{12}\)，

则当\(siny=-\cfrac{2}{3}\)，\(sinx=1\)时，\(M_{max}=\cfrac{4}{9}\)；

当\(siny=\cfrac{1}{2}\)，\(sinx=-\cfrac{1}{6}\)时，\(M_{min}=-\cfrac{11}{12}\)；

故最大值与最小值的差为\(\cfrac{4}{9}-(-\cfrac{11}{12})=\cfrac{49}{36}\)。

角的范围求解

在锐角三角形\(ABC\)中，\(C=2B\) ， 则 \(\cfrac{c}{b}\) 的取值范围是______________.

分析：本题先将\(\cfrac{c}{b}=\cfrac{sinC}{sinB}=2cosB\)，

接下来的难点是求\(B\)的范围，注意列不等式的角度，锐角三角形的三个角都是锐角，要同时限制

由\(\begin{cases} &0<A<\cfrac{\pi}{2} \\ &0<B<\cfrac{\pi}{2} \\ &0<C<\cfrac{\pi}{2}\end{cases}\)得到，\(\begin{cases} &0<\pi-3B<\cfrac{\pi}{2} \\ &0<B<\cfrac{\pi}{2} \\ &0<2B<\cfrac{\pi}{2}\end{cases}\)

解得\(B\in (\cfrac{\pi}{6}，\cfrac{\pi}{4})\)，故 \(2cosB \in (\sqrt{2}，\sqrt{3}）\) 。

【2019高三理科数学二轮用题】在锐角\(\triangle ABC\)中，角\(A、B、C\)的对边分别为\(a、b、c\)，且满足\((a-b)\)\(\cdot\)\((sinA-sinB)\)\(=\)\((c-b)\)\(\cdot\)\(sinC\)，若\(a=\sqrt{3}\)，则\(b^2+c^2\)的取值范围是【】

$A(5，6]$ $B(3，5)$ $C(3，6]$ $D[5，6]$

分析：由题目\((a-b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC\)，角化边得到，\((a-b)(a+b)=(c-b)c\)，整理得到\(b^2+c^2-a^2=bc\)，

由余弦定理可知，\(cosA=\cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\cfrac{bc}{2bc}=\cfrac{1}{2}\)，又\(A\in (0，\pi)\)，故\(A=\cfrac{\pi}{3}\)；

又已知\(a=\sqrt{3}\)，则有\(2R=\cfrac{a}{sinA}=2\)，则\(b=2RsinB=2sinB\)，\(c=2RsinC=2sinC\)，

则\(b^2+c^2=(2sinB)^2+(2sinC)^2\)

\(=4sin^2B+4sin^2(\cfrac{2\pi}{3}-B)\)

\(=2\cdot 2sin^2B+2\cdot 2sin^2(\cfrac{2\pi}{3}-B)\)

\(=2(1-cos2B)+2[1-cos(\cfrac{4\pi}{3}-2B)]\)

\(=2-2cos2B+2+2cos(2B-\cfrac{\pi}{3})\)

\(=4+\sqrt{3}sin2B-cos2B=4+2sin(2B-\cfrac{\pi}{6})\)，

又由于三角形为锐角三角形，则三个角都是锐角，

故满足\(\left\{\begin{array}{l}{0<B<\cfrac{\pi}{2}}\\{0<C<\cfrac{\pi}{2}}\end{array}\right.\)，即\(\left\{\begin{array}{l}{0<B<\cfrac{\pi}{2}}\\{0<\cfrac{2\pi}{3}-B<\cfrac{\pi}{2}}\end{array}\right.\)，

解得，\(\cfrac{\pi}{6}<B<\cfrac{\pi}{2}\)，故\(\cfrac{\pi}{6}<2B-\cfrac{\pi}{6}<\cfrac{5\pi}{6}\)，则\(\cfrac{1}{2}<sin(2B-\cfrac{\pi}{6})\leq 1\)

故\(b^2+c^2=4+2sin(2B-\cfrac{\pi}{6})\in (5，6]\)，故选\(A\)。

随机事件的概率

若随机事件 \(A\) 、 \(B\) 互斥， \(A\) 、\(B\) 发生的概率均不等于 \(0\) ，且 \(P(A)=2-a\) ，\(P(B)=4a-5\) ，则实数 \(a\) 的取值范围是【】

$A.(\cfrac{5}{4}，2)$ $B.(\cfrac{5}{4}，\cfrac{3}{2})$ $C.[\cfrac{5}{4}，\cfrac{3}{2}]$ $D.(\cfrac{5}{4}，\cfrac{4}{3}]$

分析：由于任一事件的概率的取值范围是\(0\leq P(A)\leq 1\)，且\(A\) 、\(B\) 发生的概率均不等于 \(0\)，

故此题目中 \(0<P(A)<1\)， \(0<P(B)<1\)，且由互斥事件的概率满足 \(P(A)+P(B)\leq 1\) ，

故其应该满足条件如下：

\(\left\{\begin{array}{l}{0<2-a<1}\\{0<4a-5<1}\\{(2-a)+(4a-5)\leq 1}\end{array}\right.\)，化简得\(\left\{\begin{array}{l}{1<a<2}\\{\cfrac{5}{4}<a<\cfrac{3}{2}}\\{a\leq\cfrac{4}{3}}\end{array}\right.\)，

解得\(\cfrac{5}{4}<a\leq\cfrac{4}{3}\)，故选\(D\)。

三角形边之比

已知\(\triangle ABC\)的三边长分别为\(a,b,c\)，且满足\(b+c\leqslant 3a\)，则\(\cfrac{c}{a}\)的取值范围为【】

$A.(1，+\infty)$ $B.(0，2)$ $C.(1，3)$ $D.(0，3)$

分析：又已知及三角形三边关系得到，\(\left\{\begin{array}{l}{a<b+c\leqslant 3a}\\{a+b>c}\\{a+c>b}\end{array}\right.\)，

得到，\(\left\{\begin{array}{l}{1<\cfrac{b}{a}+\cfrac{c}{a}\leqslant 3}\\{1+\cfrac{b}{a}>\cfrac{c}{a}②}\\{1+\cfrac{c}{a}>\cfrac{b}{a}③}\end{array}\right.\)，将②③合写为一个双连不等式，

得到，\(\left\{\begin{array}{l}{1<\cfrac{b}{a}+\cfrac{c}{a}\leqslant 3}\\{-1<\cfrac{c}{a}-\cfrac{b}{a}<1}\end{array}\right.\)，

两式相加，得到\(0<2\times \cfrac{c}{a}<4\)，得到\(\cfrac{c}{a}\in (0，2)\)，故选\(B\).