数学中的熵-相关问题

1. 猜数字游戏

A 写下一个数 \(x\)，其取值范围为 \(x\in [1,n]\)，B 来猜这个数字是多少，A 会告诉 B 猜的数字比 \(x\) 大了还是小了，问 B 最少猜多少次可以猜出这个数字？

把 \(x\) 看作一个随机数，他的取值范围是\([1,n]\)，B 第一次任意猜一个数，猜中的概率是 \(P(x) = \frac{1}{n}\)。利用数学中的熵的定义，B 猜中的熵是

\[S_{x\in[1,n]} = -\Sigma_{x\in[1,n]}{P(x)\log_2 P(x)} = \log_2 n \]

假如 B 第一次猜的数是 \(y\)，则 \(P(x\in[1,y]) = \frac{y}{n}\)，\(P(x\in(y,n]) = \frac{n-y}{n}\), 则 条件熵(给定条件下的熵)为 $$S_1 = P(x\in[1,y])S_{x\in[1,y]} + P(x\in(y,n])S_{x\in[y,n]}\ =\frac{y}{n} \log_2 y +\frac{n-y}{n}\log_2 (n-y)$$

求 \(y\) 取何值时，熵最小？

\[\frac{dS_1}{dy} = 0\rightarrow y = \frac{n}{2} \]

所以每次都猜一个区间的中间值是最优的选择。由于 A 会告诉 B 两种状态，因此 B 只需要猜 \(\lceil\log_2 n \rceil\) 就可以猜出 A 给定的数。n 代表可取的状态数，2 代表给定信息的个数

2. 排序问题

有 \(n\) 个互不相等的数，需要通过多少次比较才可以将这些数从小到大排序？

比较两个数 \(a,b\) 的大小有两种状态，所以对数的底应取为 2，n 个数排序的方式，即可取的状态数为 \(A_n^n = n!\)，所以需要比较 \(\lceil(\log_2 n!)\rceil\) 次。

3. 猜球问题

有 n 个球，其中有一个球与其他 n-1 个球的重量不一样，现在有一个天平，问需要称多少次可以找出这个球？

天平有三种状态，故对数的底应为3，n 个球要么重了要么轻了，故有 2n 中状态数，所以需要称 (\(\lceil\log_3 2n\rceil\)) 次可以找出这个球。