随笔分类 - 图论——最短路&&K短路&&生成树问题
摘要：周冬的《两极相通——浅析最大最小定理在信息学竞赛中的应用》把方法讲的很详细了。几点：1、把平面图G*中每一个面抽象成对偶图G*中的点。2、平面图包含f个面，设边e分割fi, fj，则连边(fi, fj)。3、关于如何区分源点和汇点。可以先连接s和t，得到一个附加面。如下图s->4->7->t->s，s*放到附加面中，t*放到无边界的面中，加以区分。4、建好图后要把(s*, t*)这条边删掉。5、G的面数等于G*的点数，G*的点数等于G的面数6、G与G*边数相同 G*中的环对应G中的割一一对应如图：hdu 3780题意是求最小割。直接套网络流模板会TLE。转换成最短路模型
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摘要：题意是：给一些坐标点，如果两点之间的距离小于R，并且两点之间没有其他点，则这两个点保持连通，这样构成了一个图。问这个图中生成树的个数。因为数据量并不大，O(N^3)的建图没有问题。建好图以后就可以用kirchhoff矩阵计算生成树的个数，之所以写这道题的解题报告是因为在高斯消元解kirchhoff矩阵时，需要用到逆元。(a/b)% mod，如果a,b的范围很大，结果会有很大的误差，这里可以转换一下 b*x = 1(% mod)则x为b的逆元 (a/b)%mod = (a*x)%mod求逆元的过程就是解线性同余方程b*x ≡1(% mod)。详见代码：/*高斯消元的整个过程中不能出现负数*...
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摘要：周冬的《生成树的计数及其应用》论文上讲到过生成树计数的问题。用到的是一个Kirchhoff矩阵，它是这样定义的：a、设一个度数矩阵D，当i == j时，Dij = (i这个节点的度数)，否则Dij = 0;b、设一个连通性矩阵A，如果i 和j连通，则Aij等于i到j的边数，否则Aij等于0；Kirchhoff矩阵C = D - A；有了Kirchhoff矩阵这个工具，我们可以引入Matrix-Tree定理：对于一个无向图G，它的生成树个数等于其Kirchhoff矩阵任何一个n-1阶主子式的行列式的绝对值（可以用高斯消元解，线性代数没学好的面壁去。。。-_-!）。所谓n-1阶主子式，就是对于..
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摘要：当最短路变成二维，就会发生非常有意思的事情。。。问题：给出u v w，表示从u -> v(双向边)所耗的时间为w，又知道没经过一条边，获利为1（对于一天边可以来回走）。求从start到end点，获利至少为k时用的最小时间。。。如果没有那个k，这个问题直接就是st -> ed的最短路。spfa，dijkstra。。。等等现在可以设 dis[i][j]表示到从st到 i点经过边数为j 时的最短路。然后直接spfa，队列中的每个点保留两个值，节点号，和到这个节点的边数。const int N = 100010;const int M = 5024;struct node { int to
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摘要：/*建图用的邻接表，复杂度O(E*logE)*/struct pnode { int num; int len; pnode() {} pnode(int a, int b) : num(a), len(b) {} bool operator < (const pnode tmp) const { return len > tmp.len; }};int dis[N];bool vis[N];int n;void bfs(int s) { priority_queue<pnode> q; q.push(pnode(s, 0)); ...
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摘要：大概的思路是线封死一条边i -> j，再找i到j的最短路dis[i][j]。dis[i][j] + w[i][j]就是一个环。找到所有环里的最小值就能得到最小环。不过。。。用dijkstra算单源最短路的话，这个的时间杂度是O(n^4)；所以可以用floyd将时间复杂度控制在O(n^3)上。思路是在floyd算法进行松弛的时候就找这个最小环。ans = min(ans, dis[i][j] + w[i][k] + w[k][j]); 这样 k -> i - >.... -> j -> k就得到了一个最小环。具体实现如下：void dfs(int i, int j)
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摘要：又是生成树问题。。。次小生成树，顾名思义就是比最小稍微大那么一点点的生成树，^_^方法是：1、找到最小生成树，值为mst2、最小生成树种的点：找到每一个点到其它点的路径上的最大边权值 dp[i][j]表示i到j路径上的最大边权值3、加一条不在最小生成树上的边。比如i - k，同时删除在最小生成树上i -> k路径上最大的一个边权值dp[i][k]; 这样会得到 new_mst，在这些new_mst中找一个最小的，就是次小生成树的值实现上用到一些技巧，代码如下POJ 1679：View Code #include <iostream>#include <cstdio>
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摘要：定义：一个有向图，存在从某个点开始的到达所有的的一个最小生成树，则它就是最小树形图。从早晨到现在一直在翻资料，终于理解了一点。朱-刘算法的大概过程如下：1、找到除了root以为其他点的权值最小的入边。用In[i]记录2、如果出现除了root以为存在其他孤立的点，则不存在最小树形图。3、找到图中所有的环，并对环进行缩点，重新编号。4、更新其他点到环上的点的距离，如：环中的点有（Vk1，Vk2，… ，Vki）总共i个，用缩成的点叫Vk替代，则在压缩后的图中，其他所有不在环中点v到Vk的距离定义如下：gh[v][Vk]=min { gh[v][Vkj]-mincost[Vkj] } (1<=j
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摘要：首先这是要解决什么问题：一个带权完全图，每条边都有自己的花费值cost[i]和收益值benifit[i]，如果用x[i]来代表一条边取或不取，那么求一个生成树。要求:r=（∑cost[i]*x[i] ） / （∑benifit[i]*x[i] ）最小。经典题目：POJ2728 - Desert King如何来求解：这里用到了0-1分数规划思想,对于上式可以变形为 z(r)=∑cost[i]*x[i] -r*∑benifit[i]*x[i]。而z(r)=0为我们所求。这里有个非常重要的结论：z(r)为单调递减函数，因此是线性的。于是"我们可以兴高采烈地把z(r)看做以 cost[i]-
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摘要：第一次接触A*，感觉好神奇。。启发函数：f(x) = g(x) + h(x);比如初始状态为s，目标状态为tg(x)表示从s到达状态x所消耗的代价h(x)表示从x到达t所估算的代价g'(x)表示s -> x可能出现的最小代价h'(x)表示x -> t可能出现的最小代价g(x) >= g'(x)；h(x) <= h'(x)；好吧，上面全是概念。。。当g(x) 为0时，A*就成了bfs，当h(x)为0时，A*就成了dfs。所以。。。启发函数的选择直接影响到A*算法的性能。大概的说说我对A*算法运算过程的理解吧：基本就是bfs形式，不过要用到优
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摘要：黑书+论文+各种资料。终于理解了一点。。。最小度限制生成树就是给一个图，让求它的最小生成树。找的的最小生成树满足并且点vo的度最大为k。算法流程如下：1.将该点（以下用v0表示）从图中删除，将得到m个连通分量。2.对每个连通分量求最小生成树，假设m个。3.从每个连通分量中找与v0关联的权值最小的边，与v0相连接，这样将得到v0的最小m度生成树4.如果 k < m 那么这种树是不存在的。5.如果 k >=m ，那么考虑构建 m+1度 最小生成树 ，将与v0关联的且不在当前的树中的边6.如果将其加入树中 ，必然会存在一个环，那么删掉该环中与v0不关联的权值最大边，将得到加入该边后的最小
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摘要：图算法差分约束系统的建立和求解poj1201(1716类似),poj2983, poj3159poj1275, poj1364最小（大）费用最大流poj2516, poj2195, poj3422（最大费用最大流）poj2135(很裸的最小费用最大流，不过有一个大坑。。。)双连通分量poj2942，poj3694强连通分支及其缩点poj2186, poj3592, poj3114图的割边和割点poj3352（外加3117）最小割模型poj3308, poj3155（偏难）详见：http://www.cnblogs.com/vongang/archive/2012/10/25/274004...
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摘要：Bellman-Ford算法 Bellman-Ford可以用来解决含有负权图的单源最短路径（Dijkstra不能解决这种问题）。代码简单，但是效率低。具体的过程就是不停的松弛，每次松弛进行一次更新。如果更新n次仍然还可以更新，说明图中存在负环，直接跳出就可以。这种情况下无解。 Bellman-Ford的时间复杂度是O(ve).伪代码如下： 1 Bellman-Ford(G,w,s) ：{ //图G ，边集 函数 w ，s为源点 2 for each vertex v ∈ V（G） do //初始化 1阶段 3 d[v]...
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摘要：这两天搞dp搞的快暴了，想学学网络流。拿过算导来一看，最短路还没整完呢。写了一个用并查集优化的kruskal算法，并查集是用非递归的状态压缩实现的。详见：http://www.cnblogs.com/vongang/archive/2011/07/31/2122763.html。kruskal没有用堆优化，不是我不想，而是实在不会。。。所以直接用sort按权值排了下序，时间复杂度O(n+n*logn)My Code:#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <algor
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摘要：这题做的真的很想砸电脑！！！！TLE， 完了WA， 检查完错误又RE，无数次的RE，RE，RE，RE！！！RE你妹啊！把字符串定义在while()外边就能过，定义在里边就RE，还有char型能过，string就TLE，至于卡这么贱吗！！！前后总共来了30多遍！！！！崩溃啊！！！！！！#include <iostream>#include <cstdio>#include <string>#include <map>using namespace std;const int N = 108;const int inf = 0x3fffffff;ma
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摘要：貌似是道水题。Prim， 484MS水过。。。#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;const int N = 505;const int inf = 0x7ffffff;int dis[N][N];int low[N];int vis[N];int v[N];void Prim(int n){ int flag, i, j, min, sum = 0; for(i = 1; i <= n; i++) { low[i] = dis[1][i];
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摘要：这题A 的很是纠结，从下午5点多开始做到现在，一直WA。。。其中滋味，别提了。。。请容我发泄两句。。。1385！WA你妹啊！！！My Code:#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;const int N = 105;const int inf = 10000000;int dis[N][N];int map[N][N];int low[N];int vis[N];int pre[N];int v[N];int cmp(int src, int de
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摘要：个人感觉这个题挺好，用到了 最短路+DP，题意很容易就看出来了，其实就是0-1背包问题，状态转移方程：dp[j] = min(dp[j], dp[j-v[i]] + w[i]), 背包容量V = sum(v[0]+v[1] +...+v[n]}，]其中每点的power为v[i], 0点到i点的最短路为w[i]；然后再在i = [sum/2+1, sum]范围内找min(dp[i])。 ps：偶悲剧的把i的范围写成i = [sum/2, sum]了，贡献无数WA。。。郁闷！！！My Code：#include <iostream>#include <cstdio>#inc
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摘要：开始用Floyd做的，TLE！更二的时我自己找了一组1 1000 的数据，4S才算出来，本身程序就有问题，我居然还交上去了。。。后来用Dijkstra做，过了。。。200+ms；#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;const int N = 1005;const int inf = 1000000;int dis[N][N];int low[N];int vis[N];int num1[N];int num2[N];void Dijkstra(in
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摘要：把与某个楼成相连的上下楼层为边建立一个图，边的权值为1.如：3 3 1 2 5可建成图：map[1][4] = 1;map[2][5] = 1;map[3][2] = 1;map[3][4] = 1;map[4][2] = 1;然后用最短路经的解法Floyd, Bellman_Ford, SPFA, Dijkstra...这里用的是Dijkstra解法My Code:#include <iostream>#include <cstring>#include <cstdio>using namespace std;const int inf = 1000000
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