最小树形图（朱-刘算法）

　　定义：一个有向图，存在从某个点开始的到达所有的的一个最小生成树，则它就是最小树形图。

从早晨到现在一直在翻资料，终于理解了一点。朱-刘算法的大概过程如下：

1、找到除了root以为其他点的权值最小的入边。用In[i]记录

2、如果出现除了root以为存在其他孤立的点，则不存在最小树形图。

3、找到图中所有的环，并对环进行缩点，重新编号。
4、更新其他点到环上的点的距离，如：

环中的点有（Vk1，Vk2，… ，Vki）总共i个，用缩成的点叫Vk替代，则在压缩后的图中，其他所有不在环中点v到Vk的距离定义如下：
gh[v][Vk]=min { gh[v][Vkj]-mincost[Vkj] } (1<=j<=i)

而Vk到v的距离为
gh[Vk][v]=min { gh[Vkj][v] }              (1<=j<=i)

 5、重复3，4知道没有环为止。

 

如下图所示：

算法过程很简单，不过用到好多拍代码的技巧。。。。在HH那找到一个不错的模板 POJ 3164：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <set>
#include <ctime>
#include <queue>
#include <map>
#include <sstream>

#define CL(arr, val)    memset(arr, val, sizeof(arr))
#define REP(i, n)       for((i) = 0; (i) < (n); ++(i))
#define FOR(i, l, h)    for((i) = (l); (i) <= (h); ++(i))
#define FORD(i, h, l)   for((i) = (h); (i) >= (l); --(i))
#define L(x)    (x) << 1
#define R(x)    (x) << 1 | 1
#define MID(l, r)   (l + r) >> 1
#define Min(x, y)   x < y ? x : y
#define Max(x, y)   x < y ? y : x
#define E(x)    (1 << (x))

const double eps = 1e-6;
const double inf = ~0u>>1;
typedef long long LL;

using namespace std;

const int N = 110;
const int M = 10010;

struct node {
    double x, y;
} point[N];

struct edg {
    int u, v;
    double cost;
} E[M];

double In[N];
int ID[N];
int vis[N];
int pre[N];
int NV, NE;

double SQ(int u, int v) {
    return sqrt((point[u].x - point[v].x)*(point[u].x - point[v].x) +
                (point[u].y - point[v].y)*(point[u].y - point[v].y));
}

double Directed_MST(int root) {
    double ret = 0;
    int i, u, v;
    while(true) {
        REP(i, NV)   In[i] = inf;
        REP(i, NE) {    //找最小入边
            u = E[i].u;
            v = E[i].v;
            if(E[i].cost < In[v] && u != v) {
                In[v] = E[i].cost;
                pre[v] = u;
            }
        }
        REP(i, NV) {    //如果存在除root以外的孤立点，则不存在最小树形图
            if(i == root)   continue;
            //printf("%.3lf ", In[i]);
            if(In[i] == inf)    return -1;
        }

        int cnt = 0;
        CL(ID, -1);
        CL(vis, -1);
        In[root] = 0;

        REP(i, NV) {    //找环
            ret += In[i];
            int v = i;
            while(vis[v] != i && ID[v] == -1 && v != root) {
                vis[v] = i;
                v = pre[v];
            }
            if(v != root && ID[v] == -1) {  //重新标号
                for(u = pre[v]; u != v; u = pre[u]) {
                    ID[u] = cnt;
                }
                ID[v] = cnt++;
            }
        }
        if(cnt == 0)    break;
        REP(i, NV) {
            if(ID[i] == -1) ID[i] = cnt++;    //重新标号
        }
        REP(i, NE) {    //更新其他点到环的距离
            v = E[i].v;
            E[i].u = ID[E[i].u];
            E[i].v = ID[E[i].v];
            if(E[i].u != E[i].v) {
                E[i].cost -= In[v];
            }
        }
        NV = cnt;
        root = ID[root];
    }
    return ret;
}

int main() {
    //freopen("data.in", "r", stdin);
    ...
}

 

面说的是定根的情况，如果是不定根的情况我们可以虚拟一个根，让虚拟根到每个节点的距离为图上所有边的权值之和加一。这样找到最小树形图后再减掉所有边的权值之和加一就可以了。

比如HUD 2121

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <set>
#include <ctime>
#include <queue>
#include <map>
#include <sstream>

#define CL(arr, val)    memset(arr, val, sizeof(arr))
#define REP(i, n)       for((i) = 0; (i) < (n); ++(i))
#define FOR(i, l, h)    for((i) = (l); (i) <= (h); ++(i))
#define FORD(i, h, l)   for((i) = (h); (i) >= (l); --(i))
#define L(x)    (x) << 1
#define R(x)    (x) << 1 | 1
#define MID(l, r)   (l + r) >> 1
#define Min(x, y)   x < y ? x : y
#define Max(x, y)   x < y ? y : x
#define E(x)    (1 << (x))

const int eps = 1e-6;
const int inf = ~0u>>1;
typedef long long LL;

using namespace std;

const int N = 1024;
const int M = N*N;

struct edg {
    int u, v;
    int cost;
} E[M];

int In[N];
int ID[N];
int vis[N];
int pre[N];
int NV, NE;
int Minroot;

int Directed_MST(int root) {
    int ret = 0;
    int i, u, v;
    while(true) {
        REP(i, NV)   In[i] = inf;
        REP(i, NE) {    //找最小入边
            u = E[i].u;
            v = E[i].v;
            if(E[i].cost < In[v] && u != v) {
                In[v] = E[i].cost;
                if(u == root)   Minroot = i;    //不能直接等于v，因为会缩边
                pre[v] = u;
            }
        }
        REP(i, NV) {    //如果存在除root以外的孤立点，则不存在最小树形图
            if(i == root)   continue;
            if(In[i] == inf)    return -1;
        }

        int cnt = 0;
        CL(ID, -1);
        CL(vis, -1);
        In[root] = 0;

        REP(i, NV) {    //找环
            ret += In[i];
            int v = i;
            while(vis[v] != i && ID[v] == -1 && v != root) {
                vis[v] = i;
                v = pre[v];
            }
            if(v != root && ID[v] == -1) {  //重新标号
                for(u = pre[v]; u != v; u = pre[u]) {
                    ID[u] = cnt;
                }
                ID[v] = cnt++;
            }
        }
        if(cnt == 0)    break;
        REP(i, NV) {
            if(ID[i] == -1) ID[i] = cnt++;    //重新标号
        }
        REP(i, NE) {    //更新其他点到环的距离
            v = E[i].v;
            E[i].u = ID[E[i].u];
            E[i].v = ID[E[i].v];
            if(E[i].u != E[i].v) {
                E[i].cost -= In[v];
            }
        }
        NV = cnt;
        root = ID[root];
    }
    return ret;
}

int main() {
    //freopen("data.in", "r", stdin);
    int i, l, x;
    while(~scanf("%d%d", &NV, &NE)) {
        l = 0; x = NE;
        REP(i, NE) {
            scanf("%d%d%d", &E[i].u, &E[i].v, &E[i].cost);
            l += E[i].cost;
        }
        l++;
        REP(i, NV) {
            E[NE].u = NV;
            E[NE].v = i;
            E[NE].cost = l;
            NE++;
        } NV++;
        int ans = Directed_MST(NV-1);
        if(ans == -1 || ans  >= 2*l)   puts("impossible");
        else    printf("%d %d\n", ans - l, Minroot - x);
        cout << endl;
    }
    return 0;
}