Miller-Rabin素数测试学习笔记

　　好几天前看了算导上的Miller-Rabin素数测试算法，今天正好总结一下，写写笔记。

　　说Miller-Rabin测试以前先说两个比较高效的求a*b% n 和 a^b %n 的函数，这里都是用到二进制思想，将b拆分成二进制，然后与a相加（相乘）

// a * b % n
//例如: b = 1011101那么a * b mod n = (a * 1000000 mod n + a * 10000 mod n + a * 1000 mod n + a * 100 mod n + a * 1 mod n) mod n 

ll mod_mul(ll a, ll b, ll n) {
    ll res = 0;
    while(b) {
        if(b&1)    res = (res + a) % n;
        a = (a + a) % n;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

 

//a^b % n
//同理
ll mod_exp(ll a, ll b, ll n) {
    ll res = 1;
    while(b) {
        if(b&1)    res = mod_mul(res, a, n);
        a = mod_mul(a, a, n);
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

下面开始说Miller-Rabin测试：

　　费马小定理：对于素数p和任意整数a，有a^p ≡ a(mod p)（同余）。反过来，满足a^p ≡ a(mod p)，p也几乎一定是素数。

　　伪素数：如果n是一个正整数，如果存在和n互素的正整数a满足 a^n-1 ≡ 1(mod n)，我们说n是基于a的伪素数。如果一个数是伪素数，那么它几乎肯定是素数。

　　Miller-Rabin测试：不断选取不超过n-1的基b(s次)，计算是否每次都有b^n-1 ≡ 1(mod n)，若每次都成立则n是素数，否则为合数。　

伪代码:

Function Miller-Rabin (n : longint) :boolean;
begin
    for i := 1 to s do
    begin
        a := random(n - 2) + 2;
        if mod_exp(a, n-1, n) <> 1 then return false;
    end;
    return true;
end;

注意，MIller-Rabin测试是概率型的，不是确定型的，不过由于多次运行后出错的概率非常小，所以实际应用还是可行的。（一次Miller-Rabin测试其成功的概率为3/4）

 

前边说的伪代码实现很简短，下面还有一个定理，能提高Miller测试的效率：

二次探测定理：

　　如果p是奇素数，则 x² ≡ 1(mod p)的解为 x = 1 || x = p - 1(mod p);

可以利用二次探测定理在实现Miller-Rabin上添加一些细节，具体实现如下：

bool miller_rabin(ll n) {
    if(n == 2 || n == 3 || n == 5 || n == 7 || n == 11)    return true;
    if(n == 1 || !(n%2) || !(n%3) || !(n%5) || !(n%7) || !(n%11))    return false;

    ll x, pre, u;
    int i, j, k = 0;
    u = n - 1;    //要求x^u % n

    while(!(u&1)) {    //如果u为偶数则u右移，用k记录移位数
        k++; u >>= 1;
    }

    srand((ll)time(0));
    for(i = 0; i < S; ++i) {    //进行S次测试
        x = rand()%(n-2) + 2;    //在[2, n)中取随机数
        if((x%n) == 0)    continue;

        x = mod_exp(x, u, n);    //先计算(x^u) % n，
        pre = x;
        for(j = 0; j < k; ++j) {    //把移位减掉的量补上，并在这地方加上二次探测
            x = mod_mul(x, x, n);
            if(x == 1 && pre != 1 && pre != n-1)    return false;    //二次探测定理，这里如果x = 1则pre 必须等于 1，或则 n-1否则可以判断不是素数
            pre = x;
        }
        if(x != 1)    return false;    //费马小定理
    }
    return true;
}

 

　　前边这个算法经过测试还是比较靠谱的，可以用作模板。本菜也找过其他模板，可是有的居然把9测成素数，汗 -_-!

AC_Von 原创，转载请注明出处：http://www.cnblogs.com/vongang/archive/2012/03/15/2398626.html