使3D空间中物体朝向和其速度方向一致的旋转矩阵计算方案

在3D空间中的物体以某一速度运动,有时候需要这个物体的朝向和速度的方向一致,
为了实现这个目标我们一般借助旋转矩阵 M 来将物体旋转到对应的朝向。

例如速度方向矢量 spdV: Vector3D(1,2,3),
X轴基向量为 axis_x: Vector3D(1,0,0), 这个矢量的方向和3D物体不做任何旋转时候的默认朝向一致
3D矢量 cross_x 记录了 axis_x 叉乘 spdV 的结果.

算出矩阵 M 的方法一:
先计算出 spdV 和 axis_x 两矢量之间的弧度值 rad(可用余弦函数计算), 然后用一个单位矩阵 m0,
让 m0 绕 轴 cross_x 旋转 rad, 就可以得到结果矩阵 M 了

算出矩阵 M 的方法二(此方法计算过程简洁，因此可以用在有些不能直接使用矩阵的地方例如有些Shader计算):
通过几何算法直接算出 矩阵M 三个正交轴的基向量(axis_x,axis_y,axis_z)
如何计算呢? 请见下面的代码:

/**
         * 通过速度, 计算物体朝向矩阵的三个轴的数据
         * */
        public static function calcDirecMatByVelocity(spdv:Vector3D):Vector.<Vector3D> {
            var axis_x:Vector3D = spdv.clone();
            axis_x.normalize();
            // 处理速度和x轴基向量朝向重合导致叉乘为零的问题
            if (axis_x.x != 0 && (Math.abs(axis_x.y) < 0.0000001 && Math.abs(axis_x.z) < 0.0000001)) {
                return Vector.<Vector3D>([new Vector3D(1, 0, 0), new Vector3D(0, 1, 0), new Vector3D(0, 0, 1)]);
            }
            
            // 记录x轴的基向量
            axis_x.setTo(1,0,0);// = new Vector3D(1, 0, 0);
            // axis_x和spdv 叉乘
            var cross_x:Vector3D = axis_x.crossProduct(spdv);
            // cross_x和spdv 叉乘,并将叉乘结果记录在 MathCalc.outCrossV 这个3D矢量中,用这个函数是为了不产生新的3d矢量对象
            MathCalc.crossV3D2(cross_x, spdv);
            cross_x.normalize();
            MathCalc.outCrossV.normalize();
            //
            // 0.5 * 其实可以不要
            cross_x.x = 0.5 * (cross_x.x + MathCalc.outCrossV.x);
            cross_x.y = 0.5 * (cross_x.y + MathCalc.outCrossV.y);
            cross_x.z = 0.5 * (cross_x.z + MathCalc.outCrossV.z);

            // 至此, 已经计算出了 新的z轴
            cross_x.normalize();
            // 得到 新的 y轴
            var axis_y:Vector3D = cross_x.crossProduct(spdv);
            axis_y.normalize();
            // spdv 就是 新x 轴, 标准化
            axis_x.setTo(spdv.x,spdv.y,spdv.z);
            axis_x.normalize();
            //
            var vs:Vector.<Vector3D> = new Vector.<Vector3D>();
            vs.push(axis_x,axis_y,cross_x);
            return vs;
        }

 

　　上面的代码用 as3 实现, 实际算法和语言无关。

方法二原理解释:
首先, 旋转矩阵 M 的X轴基向量axis_x,在空间上和spdV重合,因此spdV标准化了之后,就是X轴基向量axis_x
而 cross_x 这个旋转轴 和 spdv 叉乘的结果MathCalc.outCrossV 是落在了 M 表示的空间的 YOZ 平面上,
旋转轴 cross_x 也落在 M 表示的空间的 YOZ 平面上。
而且 axis_z 在YOZ 平面上恰好就是 MathCalc.outCrossV 和 旋转轴 cross_x 夹角的中分线,因此可以直接用计算
中点的方式直接算出 axis_z(z轴的基向量)
有了 axis_z, 由于三个基向量相互垂直,因此再通过叉乘计算出 axis_y
至此，得到了旋转矩阵 M。AGAL 可以使用此方法计算粒子等的速度朝向。