Matlab随笔之插值与拟合（下）
1、二维插值之插值节点为网格节点
已知m x n个节点：（xi，yj，zij）(i=1…m,j=1…n)，且xi,yi递增。求（x，y）处的插值z。
Matlab可以直接调用interp2(x0,y0,z0,x,y,`method`)
其中 x0,y0 分别为 m 维和 n 维向量，表示节点， z0 为 n × m 维矩阵，表示节点值， x,y
为一维数组，表示插值点， x 与 y 应是方向不同的向量，即一个是行向量，另一个是列
向量， z 为矩阵，它的行数为 y 的维数，列数为 x 的维数，表示得到的插值， 'method'
的用法同上面的一维插值。
如果是三次样条插值，可以使用命令
pp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds), z=fnval(pp,{x,y})
其中 x0,y0 分别为 m 维和 n 维向量， z0 为 m × n 维矩阵， z 为矩阵，它的行数为 x 的维
数，列数为 y 的维数，表示得到的插值，具体使用方法同一维插值。
eg:
(1)、用interp2函数插值：
x=100:100:500; y=100:100:400; z=[636 697 624 478 450 698 712 630 478 420 680 674 598 412 400 662 626 552 334 310]; p=100:1:500; q=100:1:400; q=q';%须为列向量 z0=interp2(x,y,z,p,q);%分段线性插值 z1=interp2(x,y,z,p,q,'spline');%三次线条插值 subplot(2,1,1); mesh(p,q,z0); title('分段线性插值'); subplot(2,1,2); mesh(p,q,z1); title('三次线条插值'); %可以观察出，三次线条插值的图像更平滑
运行结果：
(2)、用csape函数插值：
x=100:100:500; y=100:100:400; z=[636 697 624 478 450 698 712 630 478 420 680 674 598 412 400 662 626 552 334 310]; p=100:1:500; q=100:1:400; q=q'; %三次线条插值 pp=csape({x,y},z');%注意跟interp2的区别,有个转置 z0=fnval(pp,{p,q}); mesh(p,q,z0');%注意跟interp2的区别,有个转置 title('三次线条插值');
运行结果：
2、二维插值之插值节点为散乱节点
已知 n 个节点： ( xi , yi , zi )(i = 1,2,…, n) ，求点 (x, y) 处的插值 z 。
对上述问题， Matlab 中提供了插值函数 griddata，其格式为：
ZI = GRIDDATA(X,Y,Z,XI,YI)
其中 X、 Y、 Z 均为 n 维向量，指明所给数据点的横坐标、纵坐标和竖坐标。向量 XI、
YI 是给定的网格点的横坐标和纵坐标，返回值 ZI 为网格（ XI， YI）处的函数值。 XI
与 YI 应是方向不同的向量，即一个是行向量，另一个是列向量。
eg:
%散乱节点的二维插值 x=[129 140 103.5 88 185.5 195 105 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5]; y=[7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5]; z=-[4 8 6 8 6 8 8 9 9 8 8 9 4 9]; x0=[75:1:200]; y0=[-85:1:145]'; z0=griddata(x,y,z,x0,y0,'cubic');%保凹凸性3次插值 %[xx,yy]=meshgrid(x0,y0);无需采样，故不需要该函数 mesh(x0,y0,z0);
运行结果:
在上述问题中,补上寻找最大值的程序:
%max(z0)返回一个行向量，向量的第i个元素是矩阵A的第i列上的最大值 %find(A) 寻找矩阵A非零元素下标,返回矩阵A中非零元素所在位置 %[i,j,v]=find(A)返回矩阵A中非零元素所在的行i,列j,和元素的值v(按所在位置先后顺序输出) [p,q]=find(z0==max(max(z0))); zmax=z0(p,q)
3、最小二乘法实现曲线拟合
（1）用最小二乘法求一个形如 y = a + bx^ 2 的经验公式：
%等价于[1,x^2][a;b]=y,转换成解超定方程问题，超定方程的解是根据最小二乘法得来的 x=[19 25 31 38 44]'; y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]'; r=[ones(5,1),x.^2] ab=r\y x0=19:0.1:44; y0=ab(1)+ab(2)*x0.^2; plot(x,y,'o',x0,y0,'r')
（2）多项式拟合
%a=polyfit(x,y,n)用多项式求过已知点的表达式，其中x为源数据点对应的横坐标，可为行向量、矩阵，y为源数据点对应的纵坐标，可为行向量、矩阵，n为你要拟合的阶数，一阶直线拟合，二阶抛物线拟合，并非阶次越高越好，看拟合情况而定，a为m+1的行向量。polyfit函数的数学基础是最小二乘法曲线拟合原理，所得到的函数值在基点处的值与原来点的坐标偏差最小，常用于数据拟合，polyfit 做出来的值从左到右表示从高次到低次的多项式系数。
如果要求拟合函数在x`点的函数值，可以调用polyval(a,x`)函数
eg：
x0=[1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996]; y0=[70 122 144 152 174 196 202]; %画出散点图 plot(x0,y0,'ro'); hold on %用线性拟合 p=polyfit(x0,y0,1); z0=polyval(p,x0); plot(x0,z0);
运行结果：
4、最小二乘优化 (最小二乘:least square)
1、lsqlin函数
eg：
%拟合形如y=a+bx^2的函数 %采样点 x=[19 25 31 38 44]'; y=[19 32.3 49 73.3 97.8]'; r=[ones(5,1),x.^2]; ab=lsqlin(r,y) x0=19:0.1:44; y0=ab(1)+ab(2)*x0.^2; plot(x,y,'o',x0,y0,'r')
运行结果：
5、曲线拟合与函数逼近
eg：
求 f(x) =cos x, （-pi/2<=x<=pi/2） 在 H = Span{1, x^2 , x^4} 中的最佳平方逼近多项式。
程序如下：
syms x%定义符号数值 base=[1,x^2,x^4]; y1=base.'*base y2=cos(x)*base.' r1=int(y1,-pi/2,pi/2) r2=int(y2,-pi/2,pi/2) a=r1\r2%a为符号数值 xishu1=double(a)%化简符号数值 digits(8)%设置符号数值的精度 xishu2=vpa(a)%任意精度（符号类）数值
运行结果：
y1 =
[ 1, x^2, x^4]
[ x^2, x^4, x^6]
[ x^4, x^6, x^8]
y2 =
cos(x)
x^2*cos(x)
x^4*cos(x)
r1 =
[ pi, pi^3/12, pi^5/80]
[ pi^3/12, pi^5/80, pi^7/448]
[ pi^5/80, pi^7/448, pi^9/2304]
r2 =
2
pi^2/2 - 4
pi^4/8 - 6*pi^2 + 48
a =
(15*(pi^4 - 308*pi^2 + 3024))/(4*pi^5)
-(210*(pi^4 - 228*pi^2 + 2160))/pi^7
(1260*(pi^4 - 180*pi^2 + 1680))/pi^9
xishu1 =
0.9996
-0.4964
0.0372
xishu2 =
0.99957952
-0.49639233
0.037209327
>>
所以y的最佳平方逼近多项式为y=0.9996-0.4964x^2+0.0372x^4
