信号与频谱

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信号(singal)简介

我们在生活中经常遇到信号。比如说，股票的走势图，心跳的脉冲图等等。在通信领域，无论是的GPS、手机语音、收音机、互联网通信，我们发送和接收的都是信号。最近，深圳地铁通信系统疑似与WiFi信号冲突，也就是地铁的天线收到了WiFi的信号，而误把该信号当作地铁通信信号。我们的社会信息化，是建立在信号的基础上的。

信号：最近三年的沪指指数

 

信号是随着时间或者空间变化的序列。在信号处理中，我们常用“信号”来特指一维信号，也就是只随单一一个时间或空间维度变化的序列，这样的信号在数学上可以表示成f(t)或者f(x)这样一个函数。与一维信号形成对应的是多维信号，比如说图像是二维信号，它随x,y两个空间维度变化，从数学上表示成为f(x, y)。下面在没有特别声明的情况下，都使用“信号”来代指一维信号。

尽管信号的使用如此广泛，但信号从数学意义上来并没有什么神秘的地方，只是普通的序列(函数)。信号处理的方法可以通用于任何一个领域的信号(无论是通信、金融还是其他领域)，这也是信号处理的魅力所在。

 

简谐波(simple harmonic)

正弦波(sine wave)和余弦波(cosine wave)统称为简谐波。简谐波是自然界最常见的波动。

正弦波

正弦波可以写成函数的形式: 

可以看到，一个简谐波三个参数，振幅(A, amplitude)、频率(f,frequency)、相位(phi, phase)。这三个参数分别控制正弦波的不同特征。通过调整它们，我们可以得到不同的正弦波信号。 

左上：原始 左下：2倍频率 右上：2倍振幅 右下：相位移动

可以看到，频率高，“山峰”越密集。振幅高，“山峰”越高。相位改变，“山峰”的位置左右移动。(朋友说我是"用音量控制音调"：唱歌本应该改变频率高低的时候，却在改变振幅的高低。)

 

余弦波(cosine wave)函数形式与正弦波类似，用cos表示。我们可以通过改变正弦波来从正弦波获得余弦波。

 

傅立叶变换 (Fourier Transform)

简谐波虽然简单，但对信号处理具有重要意义。傅立叶是一名工程师，他发现，任何信号实际上都可以通过简谐波相加近似得到。也就是傅立叶定理(Fourier inversion theorem)：

任何一个信号都可以由简谐波相加得到

因此，复杂的信号可以分解成为许多个简单的简谐波。一个信号由多个频率的简谐波相加得到。组成信号的某个简谐波，称为信号的一个分量(component)。

 

比如下图，显示了我们如何用简谐波的叠加来不断趋近蓝色的信号:

 

来自Wikipedia

 

傅立叶变换是一套固定的计算方法，用于算出信号的各个分量(也就是上面的an,bn)。在信号处理时，可以将信号进行傅立叶变换，转换为简谐波的组合。通过分别控制各个频率上的简谐波分量，我们可以更加有效的进行信号处理。比如说，我们通信的时候可以使用高频的简谐波信号。但是接收信号的天线可能会收到其他频率的干扰信号。这个时候，我们可以对接收到的混合信号做傅立叶变换，只提取目标高频的分量。这是降低信号噪音的常用方法。傅立叶变换的过程有些复杂，但已经有大量的程序可以帮你进行。你所需要的只是输入信号，计算机会帮你算出它的各个分量。

 

比如说，如果信号f(x)是周期性的，我们可以将它变换成：

也就是说，一个信号可以看做许多简谐波的和。上面的a,b是可以通过原信号求得的参数为:

a, b代表了信号在各个频率上的简谐波分量的强弱(以及相位)。这样，信号就分解为了简谐波的和。由于简谐波比较容易理解，我们可以通过研究这些分量，来明白复杂信号背后的机制。

 

频谱(frequency spectrum)

通过傅立叶变换，我们可以得到一个信号f(t)的不同频率的简谐波分量。每个分量的振幅，代表了该分量的强弱。将各个频率分量的强弱画出来，可以得到信号的频谱。比如下图是从每天降水序列中得到的频谱:

可以看到，以1年为周期的简谐波分量有一个明显的高峰。也就是说，一年周期的分量有比较强。这是有物理原因的。因为降水总是以一年四季为周期有规律的变化。通过信号->Fourier Transform->频谱，我们可以从简谐波分量的角度，理解复杂信号是由哪些简谐机制合成的。

 

图像处理(Image Processing)

傅立叶变换同样可用于多维信号。把傅立叶变换用于二维信号，即图像:

左边是二维信号(图像，f(x,y))。黑白可以用数值表示，即信号值。右边是二维图像的频谱。X轴表示x方向的频率，Y轴表示y方向的频率，黑白表示不同频率分量的振幅强弱。在下面一行中，Lenna被故意加上了噪声，并引起频谱的相应变化。频谱的中心代表了低频信号的振幅，频谱远离中心的地方代表了高频信号的振幅。 我们下面和加入噪声的图像比较。

 

Lenna和她的频谱

现在，在图像中加入噪声。可以看到，原图像中各处增加了许多小“斑点”。这些斑点和原来的信号混合在一起。我们很难将一一指出这些噪音点。但另一方面，这些噪音又有一定的特征：这些噪音的空间尺度（即尺寸）很小。

这一对图像噪音的理解，可以从频谱中得到确认。从右图的频谱中可以看到，高频信号(非中心部分)明显增强。高频分量正对应空间尺度小的信号。可见，噪声在频谱中，集中在高频这一特定区域。这样，在与原图像混合在一起的噪声，在频谱上则和图像区分开。通过高频滤波技术，就可以过滤掉噪声。这也是图像降噪的一大方法。

(如果对图像处理有所了解，那么一定会知道Lenna的大名。她是一位阁楼(Playboy)女郎，但又是图像处理界的女神。你可以搜索"Lenna full image"来找到全图。Lenna现在是一名老太太了，她“见证”了图像处理的发展。)

 

总结

信号可以分解为不同频率的简谐波分量。这有助于我们更好的理解复杂的信号。傅立叶变换是信号处理(以及图像处理)的基础工具。通过傅里叶变换，我们可以获得信号的频谱。

频谱为我们提供了理解信号的另一个视角。在频率的世界里，我们可以发现很多原信号中一些可能被忽视的信息，比如降水的季节变化，比如增强的噪声。