分治算法（一）
当我们求解某些问题时，由于这些问题要处理的数据相当多，或求解过程相当复杂，使得直接求解法在时间上相当长，或者根本无法直接求出。对于这类问题，我们往往先把它分解成几个子问题，找到求出这几个子问题的解法后，再找到合适的方法，把它们组合成求整个问题的解法。如果这些子问题还较大，难以解决，可以再把它们分成几个更小的子问题，以此类推，直至可以直接求出解为止。这就是分治策略的基本思想。
1、引例：
如果给你一个装有16枚硬币的袋子，其中有一枚是伪造的，并且那枚伪造硬币的重量和真硬币的重量不同。你能不能用最少的比较次数找出这个伪造的硬币?为了帮助你完成这一任务，将提供一台可用来比较两组硬币重量的仪器，利用这台仪器，可以知道两组硬币的重量是否相同。
常规的解决方法是先将这些硬币分成两枚一组，每一次只称一组硬币，如果运气好的话只要称1次就可以找到，最坏最多称8次才可以找出那枚硬币，这种直接寻找的方法存在着相当大的投机性，适用于硬币数量少的情况，在硬币数量多的情况下就成为一件费时费力又需要运气的事。
试着改变一下方法：如果我们将全部硬币分成两组，将原来设计的一次比较两枚硬币变为一次比较两组硬币，我们会发现通过一次比较后．完全可以舍弃全部是真币的一组硬币，选取与原有问题一致的另一半进行下一步的比较，这样问题的规模就明显缩小，而且每一次比较的规模都是成倍减少(如图4－1所示)。
根据以上分析。我们可以得到以下的结论：
(I)参与比较的硬币数量越多，使用该方法来实现就越快．而且投机性大大减少；
(2)解决方法关键在于能将大问题分割成若干小问题；
(3)小问题与原有问题是完全类似的。
通常我们将这种大化小的设计策略称之为分治法．即“分而治之”的意思。
2、分治法的基本思想和解题的一般步骤：
分治算法的基本思想是将一个规模为N的问题分解为K个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题性质相同。求出子问题的解，就可得到原问题的解。侧重点在于能各个击破。分治法在设计检索、分类算法或某些速算算法中很有效。最常用的分治法是二分法、归并法、快速分类法等。
分治法解题的一般步骤：
（1）分解，将要解决的问题划分成若干规模较小的同类问题；
（2）求解，当子问题划分得足够小时，用较简单的方法解决；
（3）合并，按原问题的要求，将子问题的解逐层合并构成原问题的解。
1、解决算法实现的同时，需要估算算法实现所需时间。分治算法时间是这样确定的： 解决子问题所需的工作总量（由 子问题的个数、解决每个子问题的工作量 决定）；合并所有子问题所需的工作量
2、分治法是把任意大小问题尽可能地等分成两个子问题的递归算法
3、分治的具体过程大致如下：
begin ｛分治过程开始｝
if ①问题不可分 then ②返回问题解
else begin
③从原问题中划出含一半运算对象的子问题1；
④递归调用分治法过程，求出解1；
⑤从原问题中划出含另一半运算对象的子问题2；
⑥递归调用分治法过程，求出解2；
⑦将解1、解2组合成整修问题的解；
end;
end; {结束}
3、典型例题：
【例1】用递归算法和非递归算法实现二分查找即：有 n个已经从小到大排序好的数据，从键盘输入一个数m，用二分查找方法，判断它是否在这n 个数中。
1 var a:array[1..20]of integer; 2 n,i,m,x,y:integer; 3 procedure jc(x,y:integer); //递归过程 4 var k:integer; 5 begin 6 k:=(x+y)div 2; //取中间位置点 7 if a[k]=m then writeln('the num in ',k); //找到查找的数，输出结果 8 if x>y then writeln('no find') //找不到该数 9 else begin 10 if a[k]<m then jc(k+1,y); //在后半中查找 11 if a[k]>m then jc(x,k-1); //在前半中查找 12 end; 13 end; 14 begin 15 readln(n); 16 x:=1;y:=n; 17 for i:=1 to n do readln(a[i]); //输入排序好的数 18 readln(m); //输入要查找的数 19 jc(x,y); //递归查找 20 end.
1 var a:array[1..20]of integer; 2 n,i,m,x,y,k:integer; 3 begin 4 readln(n); 5 x:=1;y:=n; 6 for i:=1 to n do readln(a[i]); 7 readln(m); 8 repeat 9 k:=(x+y)div 2; 10 if a[k]=m then begin writeln('the num in ',k);halt;end 11 else begin 12 if a[k]<m then x:=k+1; 13 if a[k]>m then y:=k-1; 14 end; 15 until x>y; 16 writeln('No find'); 17 end.
【例2】一元三次方程求解
有形如：ax3 +bx2 +cx+d＝0这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的系数（a，b，c，d 均为实数），并约定该方程存在三个不同实根（根的范围在-100 至 100 之间），且根与根之差的绝对值≥1。 要求由小到大依次在同一行输出这三个实根（根与根之间留有空格），并精确到小数点后 2 位。
提示：记方程 f（x）=0，若存在 2 个数 x1 和 x2，且 x1<x2，f（x1）*f（x2）＜0，
则在（x1，x2）之间一定有一个根。
输入：
a，b，c，d
输出：
三个实根（根与根之间留有空格）
输入输出样例
输入： 1 -5 -4 20
输出： -2.00 2.00 5.00
【例3】循环比赛
【问题描述】 设有N个选手的循环比赛。其中N=2M，要求每名选手要与其他N-1名选手都赛一次。每名选手每天比赛一次，循环赛共进行N-1天．要求每天没有选手轮空。
输入：M
输出：表格形式的比赛安排表
【样例输入】
3
【样例输出】
1 2 3 4 5 6 7 8
2 1 4 3 6 5 8 7
3 4 1 2 7 8 5 6
4 3 2 1 8 7 6 5
5 6 7 8 1 2 3 4
6 5 8 7 1 1 4 3
7 8 5 6 3 1 1 2
8 7 6 5 d 3 2 1
【问题分析】：此题很难直接给出结果，我们先将问题进行分解，n=2^m，将规模减半，如果m=3(即n=8),8名选手的比赛，减半后变成4名选手的比赛（n=4），4个选手的比赛的安排方式还不是很明显，再减半到两名选手队的比赛(n=2)，两名选手的比赛安排方式很简单，只要让两名选手直接进行一场比赛即可：
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2 |
1 |
分析两个球队的比赛的情况不难发现，这是一个对称的方阵，我们把这个方阵分成4部分（即左上，右上，左下，右下），右上部分可由左上部分加1（即加n/2）得到，而右上与左下部分、左上与右下部分别相等。因此我们也可以把这个方阵看作是由n=1的方阵所成生的，同理可得n=4的方阵：
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4 |
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1 |
同理可由n=4方阵生成n=8的方阵：
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1 |
这样就构成了整个比赛的安排表。
在设计程序时，我们采用由小到大的方法进行扩展，而数组下标的处理是解决该问题的关键。用数组a记录2^m名选手的循环比赛表，整个循环比赛表从最初的1*1方阵按上述规则生成2*2的方阵，再生成4*4的方阵，……直到生成出整个循环比赛表为止。变量h表示当前方阵的大小,也就是要生成的下一个方阵的一半。
【参考程序】
1 program p4_1;
2 var
3 i,j,h,m,n:integer;
4 a:array[1..100,1..100]of integer;
5 begin
6 assign(input,'word.in'); reset(input);
7 assign(output,'word.out'); rewrite(output);
8 readln(m);
9 n:=1;a[1,1]:=1;h:=1;
10 for i:=1 to m do n:=n*2;
11 repeat
12 for i:=1 to h do
13 for j:=1 to h do begin
14 a[i,j+h]:=a[i,j]+h;{构造右上角方阵}
15 a[i+h,j]:=a[i,j+h];{构造左下角方阵}
16 a[i+h,j+h]:=a[i,j];{构造右下角方阵}
17 end;
18 h:=h*2;
19 until h=n;
20 for i:=1 to n do
21 begin
22 for j:=1 to n do write(a[i,j]:4); writeln;
23 end;
24 close(input); close(output);
25 end.
[例4] 求方程的根
【问题描述】
输入m，n，p，a，b，求方程f(x)＝mx+nx-px＝0在[a,b]内的根。m，n，p，a，b均为整数，且a<b；m，n，p都大于等于1。如果有根，则输出，精确到1E-11；如果无方程根，则输出“NO”。
【样例】
equation.in
2 3 4 1 2
equation.out
1.5071265916E+00
2.9103830457E-11
【算法分析】
首先这是一个单调递增函数，对于一个单调递增(或递减)函数，如图4-7所示，判断在[a, b]范围内是否有解，解是多少。方法有多种，常用的一种方法叫“迭代法”，也就是“二分法”。先判断f(a)·f(b)≤0，如果满足则说明在[a, b]范围内有解，否则无解。如果有解再判断x＝(a+b)/2是不是解，如果是则输出解结束程序，否则我们采用二分法，将范围缩小到[a, x)或(x, b]，究竟在哪一半区间里有解，则要看是f(a)·f(x)<0还是f(x)·f(b)<0。
当然对于yx，我们需要用换底公式把它换成exp(x*ln(y))。
4、小结：
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
- 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
- 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有子结构性质
- 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
- 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。
第4条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然也可用分治法，但一般用动态规划较好。
