应用运筹学基础：线性规划 (1) - 极点与基可行解
学校有一门课叫《应用运筹学基础》，是计算机学院唯一教优化的课程，感觉上得还行，这里简单记录一下上课学到的知识。第一节课是线性规划（linear programming）。
凸集
对于集合 $S$，若任意两元素 $x, y \in S$，且对于任意 $0 \le \theta \le 1$ 有 $\theta x + (1-\theta)y \in S$，那么 $S$ 是凸集（convex set，形象地想象就是凸的图形）。
可以推广：若 $S$ 为凸集，那么对任意 $n \ge 2$ 个元素 $x_1, x_2, \dots, x_n \in S$ 以及任意 $\sum_{i=1}^n \theta_i = 1$，都有 $\sum_{i=1}^n \theta_ix_i \in S$。
可以使用归纳法证明：
(1) 对于 $n = 2$，根据凸集的定义，结论成立。
(2) 若对于 $n = k$ 结论成立，即对任意 $x_1, x_2, \dots, x_k \in S$ 以及任意 $\sum_{i=1}^k \theta_i = 1$，有 $\sum_{i=1}^k \theta_ix_i \in S$。那么对于任意 $y_1, y_2, \dots, y_{k+1} \in S$ 以及任意 $\sum_{i=1}^{k+1} \lambda_i = 1$，有 $\sum_{i=1}^k \lambda_i = 1 - \lambda_{k+1}$，即 $\sum_{i=1}^k \lambda_i / (1 - \lambda_{k+1}) = 1$，那么 $t_{k+1} = \sum_{i=1}^k \lambda_iy_i / (1 - \lambda_{k+1}) \in S$，根据凸集的定义，自然有 $\sum_{i=1}^{k+1} \lambda_iy_i = (1 - \lambda_{k+1})t_{k+1} + \lambda_{k+1}y_{k+1} \in S$，结论成立。
凸集的交仍然是凸集，容易通过定义证明。
凸函数
对于定义在凸集 $S$ 上的函数 $f(x)$，若对于任意 $0 \le \theta \le 1$ 有 $f(\theta x + (1-\theta) y) \le \theta f(x) + (1-\theta) f(y)$，那么 $f(x)$ 是凸函数（convex function）。
可以推广为延森不等式（Jensen's inequality，原来一直念琴生不等式，被老师吐槽了一通...）：若 $f(x)$ 是凸函数，那么对于任意 $\sum_{i=1}^n \theta_i = 1$，有 $f(\sum_{i=1}^n \theta_ix_i) \le \sum_{i=1}^n \theta_i f(x_i)$。
若 $-f(x)$ 是凸函数，那么 $f(x)$ 是凹函数（concave function）；根据定义，仿射函数（affine function）即是凸函数又是凹函数。
凸函数美妙的性质是：局部最优就是全局最优。利用反证法证明如下：
若 $x_1$ 与 $x_2$ 满足 $|x_1-x_2| < \epsilon$，那么 $x_1$ 与 $x_2$ 在对方的邻域内。假设 $\hat{x}$ 是局部最优点而不是全局最优点，设 $x^*$ 为全局最优点，那么 $f(\hat{x}) > f(x^*)$。由于 $f(x)$ 为凸函数，那么对于它们凸组合出来的一点 $x = \theta \hat{x} + (1-\theta)x^*$ 有 $f(x) \le \theta f(\hat{x}) + (1-\theta) f(x^*) < f(\hat{x})$。只要取 $\theta = 1 - \epsilon/(2|\hat{x}-x^*|)$，就有 $|x - \hat{x}| = \epsilon/2 < \epsilon$，说明 $x$ 在 $\hat{x}$ 的邻域内，而且比它优，与我们开始的假设不相符。
线性规划
线性规划（linear programming，LP）问题指的是如下形式的优化问题：$$\min_{x} \quad c^Tx + d \\ \text{s.t.} \quad Ax \le b \\ Px = q$$ 简单来说，就是目标函数和约束函数都是仿射函数的优化问题。
由于仿射函数既是凸函数又是凹函数，所以优化问题是 min 还是 max 问题不大；由于常数 $d$ 对优化问题的解没有影响，一般也可以去掉。课堂上讨论的 LP 问题是如下形式的问题 $$\max_{x} \quad c^Tx \\ \text{s.t.} \quad Ax \le b \\ Px = q \\ x \ge 0$$ 其实，$Ax \le b$ 这个约束，可以通过给每个不等式增加一个松弛变量进行松弛：对于 $a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n \le b$ 这个约束，我们添加 $x_{n+1}$，把问题变为$a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n + x_{n+1} = b$。注意到原来的约束取的是小等于号，所以 $x_{n+1} \ge 0$ 这个条件是满足的。
这样，我们就把 LP 问题特化为 $$\max_{x} \quad c^Tx \\ \text{s.t.} \quad Ax = b \\ x \ge 0$$
为了发掘 LP 问题的一些性质，我们进行一些定义。
极点（extreme point）：设 $S$ 为凸集，若 $x \in S$ 无法表示为其它两个 $S$ 内元素的凸组合，那么 $x$ 是极点。
LP 问题的可行域实际上是很多超平面的交，最后组成的应该是一个超多面体。在这个超多面体有界的情况下，极点就是这些超多面体的顶点。对于 LP 问题而言，在超多面体有界的情况下，最优解一定可以在极点取到，且极点的数量是有限的（不过不知道怎么证明- -但是感性地想一想好像还是很有道理的，和函数的极值什么的有点像...）
基可行解（basic feasible solution）：我们讨论 $Ax = b$ 有解且行满秩的情况（如果 $Ax = b$ 没有解那这个问题也没得做了，如果行不满秩，那么我们去掉线性相关的限制条件即可）。设 $A$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵，根据线性代数的知识，我们可以从 $A$ 中选出最多 $m$ 列线性无关的列向量，其它列向量都和它们线性相关。我们把这 $m$ 个列向量调整到前面去，把 $A$ 分成两部分：$A = \begin{bmatrix} A_B & A_N \end{bmatrix}$，其中 $A_B$ 就是那 $m$ 个线性无关的列向量。我们容易构造出 $Ax = b$ 的一个解：$$x = \begin{bmatrix} A_B^{-1}b \\ 0 \end{bmatrix}$$ 称这种解为基可行解。显然，基可行解至多有 $C_n^m$ 种。
接下来我们要证明一个厉害的定理：每个极点都对应着一个基可行解，且每个基可行解都对应着一个极点。有了这个定理，再结合可行域有解情况下最优解一定可以在极点取到，我们只要枚举基可行解，就能找到最优解了（至于如何优雅地枚举下节课再说- -）。
首先证明一个引理：若 $x = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \dots & x_k & 0 & 0 & \dots \end{bmatrix}$ 不是基可行解，那么 $x$ 中非 0 元素对应的 $A$ 中的 $k$ 列是线性相关的。如果 $k > m$ 显然这 $k$ 列线性相关；如果 $k \le m$ 但这 $k$ 列线性无关，那么我们就可以把这 $k$ 列当作 $A_B$（如果 $k < m$ 就再选几个线性无关的列，凑成 $m$ 个），$x$ 就成为了一个基可行解。所以这 $k$ 列一定是线性相关的。
首先我们用反证法证明：若 $x$ 为极点，那么 $x$ 也是基可行解。假设 $x$ 并不是基可行解，我们把 $x$ 里的非 0 元素（假设有 $k$ 个）都调整到前面去（相应地，也要把 $A$ 中这 $k$ 个非 0 元素对应的列调到前面去），那么我们可以把 $x$ 写为 $x = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \dots & x_k & 0 & 0 & \dots \end{bmatrix}$。根据引理，$A$ 中对应的 $k$ 列是线性相关的。
记线性相关的 $k$ 列为 $p_1, p_2, \dots, p_k$，我们就有不全为 0 的 $\lambda_i$，使得 $\sum_{i=1}^k \lambda_i p_i = 0$。记辅助向量 $v = \begin{bmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 & \dots & \lambda_k & 0 & 0 & \dots \end{bmatrix}^T$，令 $x' = x + \epsilon v$，$x'' = x - \epsilon v$，显然我们有 $x = (x' + x'') / 2$。由于 $x_1$ 至 $x_k$ 均大于 0，当 $\epsilon$ 充分小时，$x' \ne x''$，且 $x' \ge 0$ 和 $x'' \ge 0$ 的性质也能得到保证。另外，$Ax' = A(x + \epsilon v) = Ax = b$，$Ax'' = A(x - \epsilon v) = Ax = b$，说明 $x'$ 与 $x''$ 都是可行解。这就是说，$x$ 可以表示为可行域内其它两点的凸组合，与 $x$ 是极点的假设矛盾，反证法结束。
我们继续用反证法证明：若 $x$ 为基可行解，那么 $x$ 为极点。假设 $x$ 不是极点，那么有 $x = (x' + x'') / 2$，而且 $x' \ne x''$，以及 $x' \ge 0$ 与 $x'' \ge 0$。设 $x_i = 0$，注意到 $x'$ 与 $x''$ 元素非负，那么 $x'_i = x''_i = 0$。设 $x$ 中有 $k$ 个非 0 元素，根据基可行解的定义，这些元素所对应的 $A$ 的列向量是线性无关的，那么想从这些列向量得到 $b$，线性组合的方式也是唯一的。这就说明了 $x = x' = x''$，则 $x$ 是极点，反证法结束。
这次课上还遇到了一个有趣的转换。给定 $m \times n$ 的矩阵 $A$ 和 $m$ 维向量 $b$，考虑以下优化问题：$$\max_{x} \min_{j} \quad \sum_{i=1}^m b_ix_i - \sum_{i=1}^m a_{i,j}x_i \\ \text{s.t.} \quad x \le q \\ x \ge 0$$ 这个问题第一眼看上去并不像一个线性规划，因为这是一个 max 再套 min 的问题。我们把它改写一下：$$\max_{x} \quad \sum_{i=1}^m b_ix_i - (\max_{j} \quad \sum_{i=1}^m a_{i,j}x_i) \\ \text{s.t.} \quad x \le q \\ x \ge 0$$ 注意到第二个 max 针对的变量 $j$ 的取值是有限的（只有 1 到 $n$），我们就可以把它提出来，变成下面的问题：$$\max_{x,y} \quad \sum_{i=1}^m b_ix_i - y \\ \text{s.t.} \quad x \le q \\ x \ge 0 \\ y \ge \sum_{i=1}^m a_{i,j}x_i \quad \forall j = 1, 2, \dots, n$$ 一下子就变成了线性规划问题，感觉这个操作非常厉害...
