poj 1286 polya 定理

题意：用三种颜色的珠子串成长度为N(N<24)的项链，经过旋转和翻转所得的项链视为同一种项链，求共能组成几条不同的项链。

分析： 

1、旋转：置换的个数是n个，第i个置换的循环节个数是gcd(n,i)个。

证明：经过 LCM ( i  ,n ) / i 次旋转回到自身，循环节的长度是 LCM( i , n ) / i ，n / ( LCM( i , n ) / i )就是循环节的个数，n / ( LCM( i , n ) / i ) = gcd( n , i ) 

2、翻转：找循环节的关键是找对称轴，n要分奇偶性。

当n = 2 * k + 1，对称轴就是每个点和圆心的连线，共n条，除了这个点没变，其他的点都跟对称的那个点置换了，所以循环节的个数是k+1。

当n = 2 * k，对称轴是每个点和对面的点的连线，共k条，除了对称轴上的两个点，其余点都跟对面的点置换了，循环节的个数是k+1，

两个相邻点的中点和圆心的连线也是k条，每个点都跟对面的点置换了，循环节的个数是k，对称轴一共也是n条。

 

 

const int maxn = 30;
LL pow3[maxn] = {1};

void init(){
    FOR(i,1,maxn) pow3[i] = pow3[i-1] * 3;
}

int gcd(int x, int y){
     if (!x || !y) return x + y;
     for (int t; t = x % y; x = y, y = t);
     return y;
}

int n, k;
LL ans;

void polya(){
    ans = 0;  k = n>>1;

    if(n&1) ans += n * pow3[k+1];   //翻转
    else ans += k * (pow3[k+1] + pow3[k]);

    ans += pow3[n]; //旋转0
    FOR(i,1,n){     //旋转i
        int t = gcd(i, n);
        ans += pow3[t];
    }

    ans /= n<<1 ;
    cout<<ans<<endl;
}

int main(){
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    #endif

    init();

    while( cin>>n, n != -1 ){
        if( n == 0) {cout<<0<<endl;continue;}
        polya();
    }

    return 0;
}