hrbustOJ 1375The Active Leyni(动态规划+矩阵乘法)

摘自：http://acm.hrbust.edu.cn/hcpc2012/index.php?act=showpost&p=15

本题是动态规划+矩阵乘法题

定义f[i][0]为走了i步恰好达到S的不同走法

定义f[i][1]为走了i步恰好达到A的不同走法

定义f[i][2]为走了i步恰好达到B的不同走法

定义f[i][3]为走了i步恰好达到C的不同走法

状态转义方程为：

f[i][0] = f[i – 1][1] + f[i – 1][2] + f[i – 1][3];

f[i][1] = f[i – 1][0] + f[i – 1][2] + f[i – 1][3];

f[i][2] = f[i – 1][0] + f[i – 1][1] + f[i – 1][3];

f[i][3] = f[i – 1][0] + f[i – 1][1] + f[i – 1][2];

由于n的规模达到10⁹，所以我们可以令

矩阵A = [1 0 0 0]表示走了0步时恰好到达S, A, B, C的不同走法，

那么每次状态转义相当于乘以矩阵B，其中：

B = [0 1 1 1

       1 0 1 1

       1 1 0 1

       1 1 1 0]

可知，求走n步恰好到达S点的不同走法即是求A * Bⁿ，使用矩阵快速幂乘法即可。

 

/*
* 动态规划+矩阵乘法 
*/

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <iostream>

using namespace std;

const int M = 1000000007;

void martix(unsigned long long a[4][4],unsigned long long b[4][4]) {
    unsigned long long c[4][4];
    int i, j, k;
    for (i=0; i<4; ++i) {
        for (j=0; j<4; ++j) {
            c[i][j] = 0;
            for (k=0; k<4; ++k) c[i][j] += a[i][k] * b[k][j] % M;
        }
    }
    for (i=0; i<4; ++i) {
        for (j=0; j<4; ++j) a[i][j] = c[i][j];
    }
}

unsigned long long exp(unsigned long long cs[4][4], unsigned long long s[4][4], unsigned long long n) {
    while (n) {
        if (n & 1) martix(cs, s);
        n >>= 1;
        martix(s, s);
    }
    return cs[0][0] % M;
}

int main() {
    int t;
    scanf ("%d", &t);
    while (t--) {
        int n;
        scanf ("%d", &n);
        unsigned long long cs[4][4] = {
            {1, 0, 0, 0},
            {0, 1, 0, 0},
            {0, 0, 1, 0},
            {0, 0, 0, 1},
        };
        unsigned long long s[4][4] = {
            {0, 1, 1, 1},
            {1, 0, 1, 1},
            {1, 1, 0, 1},
            {1, 1, 1, 0},
        };
        unsigned long long ans = exp(cs, s, n);
        printf ("%llu\n", ans);
    }
    return 0;    
}