复旦高等代数 I（17级）每周一题

本学期将继续进行高等代数每周一题的活动。计划从第二教学周开始，到第十六教学周为止（根据法定节假日安排，中间个别周会适当地停止），每周的周末将公布1-2道思考题，供大家思考和解答。每周一题通过“谢启鸿高等代数官方博客（以博文的形式）”和“高等代数在线课程17级课群（以课群话题的形式）”这两个渠道同时发布，并通过17级的班级微信群及时通知大家。有兴趣的同学可以将每周一题的解答写在纸上，在课堂上交给谢启鸿老师，或将纸质解答拍成图片，作为附件上传到该每周一题对应的课群话题中作为解答。谢启鸿老师或研究生助教会对每周一题的解答进行批改和评价，并将优秀解答标记出来推荐给全班同学。

[问题2017A01]  设 $$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 4 & 7 & \cdots & 3n-2 \\ 1 & 5 & 9 & \cdots & 4n-3 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix},$$ 其中 $n\geq 2$, $A_{ij}$ 是 $|A|$ 的第 $(i,j)$ 元素的代数余子式. 证明: $|A|=\sum\limits_{i,j=1}^nA_{ij}$.

[问题2017A02]  设 $|A|$ 为 $n$ 阶行列式, 其中 $n$ 为奇数, 且 $|A|$ 的所有元素都是整数. 证明: 若对任意的 $1\leq i\leq n$, $a_{ii}$ 都是偶数, 且对任意的 $1\leq i<j\leq n$, $a_{ij}+a_{ji}$ 都是偶数, 则 $|A|$ 也是偶数.

[问题2017A03]  求下列 $n$ 阶行列式的值: $$|A|=\begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ x+x^2 & 1+x^2 & x & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & x & 1+x^2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0& \cdots & 1+x^2 & x \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & 1+x^2 \\ \end{vmatrix}.$$

[问题2017A04]  设 $A,B,C$ 均为 $2$ 阶方阵, 满足 $C=AB-BA$, $AC=CA$ 和 $BC=CB$, 求证: $C=0$.

提示  证明 $\mathrm{tr}(C)=\mathrm{tr}(C^2)=0$, 由此得到 $C=(c_{ij})$, 其中 $c_{22}=-c_{11}$ 且 $c_{11}^2+c_{12}c_{21}=0$. 若 $c_{12}=c_{21}=0$, 则 $c_{11}=c_{22}=0$, 从而 $C=0$, 结论得证. 若 $c_{12}\neq 0$ 或 $c_{21}\neq 0$, 试构造非异阵 $P$, 使得 $P^{-1}CP=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$, 由此证明 $P^{-1}AP$ 和 $P^{-1}BP$ 也具有简单的形式, 最后可得矛盾.

[问题2017A05]  设 $f_i(x)=a_{in}x^n+a_{i,n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{i1}x+a_{i0}\,(0\leq i\leq n)$, 其中 $a_{ij}\,(0\leq i,j\leq n)$ 都是整数. 设 $A=(a_{ij})_{0\leq i,j\leq n}$ 是对应的 $n+1$ 阶方阵, 证明:

(1) 对任意的整数 $x$, $f_0(x),f_1(x),\cdots,f_n(x)$ 的最大公因数都要整除 $|A|$;

(2) 存在 $n+1$ 阶整数矩阵 $B$ 使得 $AB=I_{n+1}$ 的充分必要条件是, 存在 $n+1$ 个不同的整数 $x_0,x_1,\cdots,x_n$, 使得 $n+1$ 阶矩阵 $C=(f_i(x_j))_{0\leq i,j\leq n}$ 满足 $|C|=\pm\prod\limits_{0\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)$.

[问题2017A06]  设 $n$ 阶循环矩阵 $A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_n & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_n & a_1 & \cdots & a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_2 & a_3 & a_4 & \cdots & a_1 \end{pmatrix}$ 是非异阵, 试求逆阵 $A^{-1}$.

[问题2017A07]  设 $A=B+C$, 其中 $B$ 是 $n$ 阶实对称阵, $C$ 是 $n$ 阶实反对称阵, 满足 $BC=0$. 证明: 若 $A^2=0$, 则 $A=0$.

[问题2017A08]  设 $A,B$ 是 2 阶方阵, 若存在 2 阶方阵 $P,Q$, 使得 $A=PQ$ 且 $B=QP$, 则记为 $A\,\sharp\,B$. 证明: 在所有 2 阶方阵构成的集合中, $\sharp$ 是一个等价关系.

提示  按照行列式是否为零以及矩阵的迹是否为零来进行讨论.

[问题2017A09]  设 $A,B$ 是 $n$ 阶方阵, 若存在 $n$ 阶方阵 $P,Q$, 使得 $A=PQ$ 且 $B=QP$, 则记为 $A\,\sharp\,B$. 证明: 若 $n\geq 3$, 则在所有 $n$ 阶方阵构成的集合中, $\sharp$ 不是等价关系.

提示  当 $n=3$ 时, 用反证法, 构造简单的矩阵得到矛盾. $n\geq 4$ 的情形可以归结到 $n=3$ 的情形.

[问题2017A10]  设 $A,B,C$ 分别为 $m\times n$, $p\times q$ 和 $m\times q$ 矩阵, $M=\begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \\ \end{pmatrix}$, 证明:

(1) $r(M)=r(A)+r(B)$ 成立当且仅当矩阵方程 $AX+YB=C$ 有解, 其中 $X,Y$ 分别为 $n\times q$ 和 $m\times p$ 未知矩阵;

(2) $r(M)\leq\min\{r(A)+q,r(B)+m\}$;

(3) 试给出 Sylvester 不等式和 Frobenius 不等式 (白皮书的例 3.64 和例 3.66) 等号成立的充分必要条件.

[问题2017A11]  设 $A$ 为 $n$ 阶实对称阵且 $r(A)=r$, 证明: $A$ 的所有 $r$ 阶主子式之和不等于零.

注  本题不能用高代 II 的方法 (特征值和实对称阵的正交相似标准型) 来做, 限定只能用高代 I 的方法来做, 可参考白皮书的例 3.83.

[问题2017A12]  设 $A,B,C,D$ 为 $n$ 阶实方阵, $S$ 为 $n$ 阶实反对称阵, $a$ 为非零实数, 满足 $AB=CD=aI_n+S$. 求证: $AD+B'C'$ 是非异阵.

注  本题是第九届全国大学生数学竞赛预赛第四题结论的推广. 可设 $D=BP$ 并利用线性方程的求解理论来证明.

[问题2017A13]  任取 $9$ 个不同的实数 $a_1,\cdots,a_9$, 证明: 存在 $1,\cdots,9$ 的全排列 $k_1,\cdots,k_9$, 使得 $$\begin{vmatrix} a_{k_1} & a_{k_2} & a_{k_3} \\ a_{k_4} & a_{k_5} & a_{k_6} \\ a_{k_7} & a_{k_8} & a_{k_9} \\ \end{vmatrix}\neq 0.$$

注  本题可以推广到 $n^2$ 个不同实数的情形, 请参考《循环矩阵的性质及其应用》.

[问题2017A14]  设 $V,U$ 分别为数域 $K$ 上的 $n,m$ 维线性空间, 线性映射 $\varphi:V\to U$ 在 $V,U$ 的某组基下的表示矩阵为 $A$, 证明:

(1) 存在 $V$ 的一组基 $\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}$ 和 $U$ 的一组基 $\{f_1,f_2,\cdots,f_m\}$, 使得 $\varphi$ 在这两组基下的表示矩阵为 $\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$, 其中 $r=r(A)$;

(2) $\mathrm{Ker\,}\varphi=L(e_{r+1},\cdots,e_n)$, $\mathrm{Im\,}\varphi=L(f_1,\cdots,f_r)$, 特别地, $\dim\mathrm{Ker\,}\varphi=n-r(A)$, $r(\varphi)=\dim\mathrm{Im\,}\varphi=r(A)$;

(3) 存在线性映射 $\varphi_i:V\to U$, 使得 $r(\varphi_i)=1\,(1\leq i\leq r)$ 且 $\varphi=\varphi_1+\varphi_2+\cdots+\varphi_r$.

注  本题给出了高代教材第 4.4 节主定理的另一证明.

[问题2017A15]  (1) 设 $\varphi$ 是数域 $K$ 上 $n\,(n\geq 2)$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, 证明: 若 $V$ 只有平凡的 $\varphi-$不变子空间, 则 $\varphi$ 必为 $V$ 的自同构.

(2) 设 $\varphi,\psi$ 是数域 $K$ 上 $2n+1\,(n\geq 1)$ 维线性空间 $V$ 上的两个非零线性变换, 满足 $\varphi\psi+\psi\varphi=0$. 证明: $V$ 既有非平凡的 $\varphi-$不变子空间, 也有非平凡的 $\psi-$不变子空间.

(3) 举例说明: 当 $V$ 的维数是偶数时, (2) 的结论一般不成立.

[问题2017A16]  设 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^{3m}+A+I_n=0$, 其中 $m$ 为正整数, 求证: $A^2+A+I_n$ 是非异阵, 并求其逆阵.