复旦大学2016--2017学年第二学期（16级）高等代数II期末考试第八大题解答

八、(本题10分)  设 $\varphi$ 是欧氏空间 $V$ 上的线性算子, $g(\lambda)$ 是 $\varphi$ 的极小多项式. 证明: $\varphi$ 是正规算子的充要条件是对 $g(\lambda)$ 的任一首一不可约因式 $g_i(\lambda)$, 以下两个条件都成立:

(1) $\mathrm{Ker\,} g_i(\varphi)\perp\mathrm{Im\,}g_i(\varphi)$;

(2) 任取 $\mathrm{Ker\,} g_i(\varphi)$ 中两个正交的向量 $\alpha,\beta$, 则 $\varphi(\alpha)$ 与 $\varphi(\beta)$ 也正交.

证明  先证必要性. 设 $\varphi$ 是实正规算子, 由复旦高代教材的定理 9.7.1 可知, 极小多项式$g(\lambda)$ 无重因式, 即 $g(\lambda)=g_1(\lambda)g_2(\lambda)\cdots g_k(\lambda)$, 其中 $g_i(\lambda)$ 是 $g(\lambda)$ 的互异首一不可约因式, 并且 $$V=\mathrm{Ker\,} g_1(\varphi)\perp\mathrm{Ker\,} g_2(\varphi)\perp\cdots\perp\mathrm{Ker\,} g_k(\varphi).\qquad(*)$$ 下面我们用三种方法来证明条件 (1).

方法一  对任意的 $i\neq j$, 由 $(g_i(\lambda),g_j(\lambda))=1$ 可知, 存在实系数多项式 $u(\lambda),v(\lambda)$, 使得 $g_i(\lambda)u(\lambda)+g_j(\lambda)v(\lambda)=1$, 于是 $g_i(\varphi)u(\varphi)+g_j(\varphi)v(\varphi)=I_V$. 任取 $v\in\mathrm{Ker\,} g_j(\varphi)$, 则有 $v=g_i(\varphi)u(\varphi)(v)+v(\varphi)g_j(\varphi)(v)=g_i(\varphi)u(\varphi)(v)\in\mathrm{Im\,}g_i(\varphi)$, 于是 $\mathrm{Ker\,} g_j(\varphi)\subseteq\mathrm{Im\,}g_i(\varphi)$, 进一步 $\sum_{j\neq i}\mathrm{Ker\,} g_j(\varphi)\subseteq\mathrm{Im\,}g_i(\varphi)$. 再由线性映射的维数公式及 (*) 式即得 $\mathrm{Im\,}g_i(\varphi)=\sum_{j\neq i}\mathrm{Ker\,} g_j(\varphi)=\perp_{j\neq i}\mathrm{Ker\,} g_j(\varphi)$, 从而 $\mathrm{Ker\,} g_i(\varphi)\perp\mathrm{Im\,}g_i(\varphi)$.

方法二  对任意的 $v\in V$, $0=g(\varphi)(v)=\prod_{j\neq i}g_j(\varphi)\cdot g_i(\varphi)(v)$, 由此即得 $g_i(\varphi)(v)\in\mathrm{Ker\,}\prod_{j\neq i}g_j(\varphi)$, 从而由白皮书的例 5.74 可知 $\mathrm{Im\,}g_i(\varphi)\subseteq\mathrm{Ker\,}\prod_{j\neq i}g_j(\varphi)=\oplus_{j\neq i}\mathrm{Ker\,} g_j(\varphi)$. 再由线性映射的维数公式及 (*) 式即得 $\mathrm{Im\,}g_i(\varphi)=\oplus_{j\neq i}\mathrm{Ker\,} g_j(\varphi)=\perp_{j\neq i}\mathrm{Ker\,} g_j(\varphi)$, 从而 $\mathrm{Ker\,} g_i(\varphi)\perp\mathrm{Im\,}g_i(\varphi)$.

方法三  因为 $g_i(\lambda)$ 是实系数多项式, 所以 $g_i(\varphi)$ 仍然是实正规算子. 由复旦高代教材的引理 9.6.1 可知, $\|g_i(\varphi)(v)\|=\|g_i(\varphi)^*(v)\|$, 于是对任意的 $v\in\mathrm{Ker\,} g_i(\varphi)$, 有 $g_i(\varphi)^*(v)=0$. 再任取 $u=g_i(\varphi)(w)\in\mathrm{Im\,}g_i(\varphi)$, 我们有 $(v,u)=(v,g_i(\varphi)(w))=(g_i(\varphi)^*(v),w)=0$, 这就证明了 $\mathrm{Ker\,} g_i(\varphi)\perp\mathrm{Im\,}g_i(\varphi)$.

令 $\varphi_i$ 为 $\varphi$ 在 $\mathrm{Ker\,} g_i(\varphi)$ 上的限制, 则 $\varphi_i$ 仍为实正规算子且极小多项式为 $g_i(\lambda)$. 我们称条件 (2) 为 $\varphi_i$ 保持向量的正交性. 若 $g_i(\lambda)=\lambda-c_i$, 则 $\varphi_i=c_iI$ 为纯量变换, 它显然保持向量的正交性. 若 $g_i(\lambda)=(\lambda-a_i)^2+b_i^2$, 其中 $b_i\neq 0$, 则 $\varphi_i$ 在某组标准正交基下的表示矩阵为 $A_i=\mathrm{diag}\Bigg\{\begin{pmatrix}a_i & b_i \\ -b_i & a_i \end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}a_i & b_i \\ -b_i & a_i \end{pmatrix}\Bigg\}$, 于是 $\varphi_i^*$ 在同一组基下的表示矩阵为 $A_i'$, 由 $A_i'A_i=(a_i^2+b_i^2)I$ 可得 $\varphi_i^*\varphi_i=(a_i^2+b_i^2)I$. 对 $\mathrm{Ker\,} g_i(\varphi)$ 中任意两个正交向量 $\alpha,\beta$, 我们有 $(\varphi(\alpha),\varphi(\beta))=(\alpha,\varphi_i^*\varphi_i(\beta))=(\alpha,(a_i^2+b_i^2)\beta)=(a_i^2+b_i^2)(\alpha,\beta)=0$, 即 (2) 也成立.

再证充分性. 设欧氏空间 $V$ 上的线性算子 $\varphi$ 满足条件 (1) 和 (2), 设 $g(\lambda)=g_1(\lambda)^{r_1}g_2(\lambda)^{r_2}\cdots g_k(\lambda)^{r_k}$, 其中 $g_i(\lambda)$ 是 $g(\lambda)$ 的互异首一不可约因式. 若 $r_1>1$, 则对任一 $v\in V$, $g_1(\varphi)^{r_1-1}g_2(\varphi)^{r_2}\cdots g_k(\varphi)^{r_k}(v)\in\mathrm{Ker\,} g_1(\varphi)\cap\mathrm{Im\,}g_1(\varphi)=0$, 于是 $\varphi$ 也适合多项式 $g_1(\lambda)^{r_1-1}g_2(\lambda)^{r_2}\cdots g_k(\lambda)^{r_k}$, 这与 $g(\lambda)$ 是极小多项式相矛盾, 因此 $g(\lambda)=g_1(\lambda)g_2(\lambda)\cdots g_k(\lambda)$. 由复旦高代教材的习题 7.4.10 或白皮书的例 7.21 可知 $V=\mathrm{Ker\,} g_1(\varphi)\oplus\mathrm{Ker\,} g_2(\varphi)\oplus\cdots\oplus\mathrm{Ker\,} g_k(\varphi)$. 由必要性 (1) 的方法一或方法二完全类似的讨论可知 $\mathrm{Im\,}g_i(\varphi)=\oplus_{j\neq i}\mathrm{Ker\,} g_j(\varphi)$, 再由 (1) 可知, 对任意的 $i\neq j$, $\mathrm{Ker\,} g_i(\varphi)\perp\mathrm{Ker\,} g_j(\varphi)$, 于是 $$V=\mathrm{Ker\,} g_1(\varphi)\perp\mathrm{Ker\,} g_2(\varphi)\perp\cdots\perp\mathrm{Ker\,} g_k(\varphi).$$ 若 $g_i(\lambda)=\lambda-c_i$, 则 $\varphi_i=c_iI$ 为纯量变换, 于是存在 $\mathrm{Ker\,} g_i(\varphi)$ 的一组标准正交基, 使得 $\varphi_i$ 的表示矩阵是纯量阵 $c_iI$. 若 $g_i(\lambda)=(\lambda-a_i)^2+b_i^2$, 其中 $b_i\neq 0$, 则 $\varphi_i$ 是非零线性变换且保持 $\mathrm{Ker\,} g_i(\varphi)$ 中向量的正交性. 由复旦高代教材第九章复习题 54 或白皮书的例 9.96 可知, 存在正实数 $k_i$, 使得 $\varphi_i^*\varphi_i=k_iI$, 于是 $\varphi_i$ 是 $\mathrm{Ker\,} g_i(\varphi)$ 上的正规算子, 从而存在一组标准正交基, 使得 $\varphi$ 的表示阵为  $A_i=\mathrm{diag}\Bigg\{\begin{pmatrix}a_i & b_i \\ -b_i & a_i \end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}a_i & b_i \\ -b_i & a_i \end{pmatrix}\Bigg\}$. 将 $\mathrm{Ker\,} g_i(\varphi)$ 的标准正交基拼成全空间 $V$ 的一组标准正交基, 则 $\varphi$ 在这组标准正交基下的表示矩阵为 $$\mathrm{diag}\Bigg\{\begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\ -b_1 & a_1 \end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}a_r & b_r \\ -b_r & a_r \end{pmatrix},c_{2r+1},\cdots,c_n\Bigg\},$$ 这是一个实正规阵, 从而 $\varphi$ 是实正规算子.  $\Box$

注  16级的何陶然同学、梁嘉豪同学、朱民哲同学和李飞虎同学给出了本题必要性的证明, 但充分性的完整证明没有一人给出.