16 级高代 II 思考题十的多种证明

16 级高代 II 思考题十  设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, 证明: $\varphi$ 的极小多项式 $m(\lambda)$ 在 $\mathbb{K}$ 上无重因式的充要条件是对 $V$ 的任一 $\varphi$-不变子空间 $U$, 均存在 $\varphi$-不变子空间 $W$, 使得 $V=U\oplus W$.

本题是复旦高代教材复习题七的第 24 题或高代白皮书的例 7.15 从复数域 $\mathbb{C}$ 到一般数域 $\mathbb{K}$ 上的推广. 我们经常会遇到这样一类问题, 如果基域是复数域, 那么这个问题很容易通过复可对角化理论或 Jordan 标准型理论得到解决, 但若基域是一般的数域, 处理起来则会变得难的多. 遇到这种情形, 通常我们有四种方法可以考虑. 一是直接利用线性变换理论 (涉及到不变子空间, 还可以利用循环子空间理论, 参考教学论文 [1,2]); 二是利用一般数域上基于初等因子的相似标准型理论 (属于超纲内容, 参考高代白皮书的第 7.2.11 节); 三是利用高等代数中某些概念在基域扩张下的不变性, 将一般数域上的问题提升到复数域上来讨论 (参考教学论文 [3]); 四是先在特征多项式的分裂域上进行讨论, 然后利用 Galois 理论把结论下降到原来的基域上 (需要抽象代数学和 Galois 理论作为基础, 参考教学论文 [4]). 值得一提的是, 16 级高代 II 思考题九的七种解法就是这前三种方法的体现. 在本博文中, 我们将给出 16 级高代 II 思考题十的多种证法, 它们也集中反映了前三种方法的威力. 当然第四种方法也可以做, 请大家在学过 Galois 理论之后, 再思考如何给出证明.

充分性的五种证明

引理 1  称充分性的条件为 $V$ 满足性质 P, 则 $V$ 的任一 $\varphi$-不变子空间 $U$ 也满足性质 P.

证明  任取 $U$ 的 $\varphi$-不变子空间 $U_1$, 则 $U_1$ 也是 $V$ 的 $\varphi$-不变子空间, 因此存在 $\varphi$-不变子空间 $W$, 使得 $V=U_1\oplus W$. 令 $W_1=U\cap W$, 由于 $U_1\subseteq U$, 故 $$U=U\cap V=U\cap (U_1+W)=U_1+U\cap W=U_1+W_1=U_1\oplus W_1.\quad\Box$$

证法一 (由何陶然同学提供)  对维数 $n$ 进行归纳, 当 $n=1$ 时结论显然成立. 假设当 $\dim V<n$ 时, 结论成立, 现证明 $\dim V=n$ 的情形. 若 $m(\lambda)$ 是 $\mathbb{K}$ 上的不可约多项式, 则结论已然成立. 现设 $m(\lambda)=g(\lambda)h(\lambda)$ 是 $\mathbb{K}$ 上的因式分解, 其中 $\deg g(\lambda)<\deg m(\lambda)$, $\deg h(\lambda)<\deg m(\lambda)$. 设 $U=\mathrm{Ker\,}g(\varphi)$, 则 $U$ 是 $\varphi$-不变子空间, 满足 $U\neq V$, 否则 $\varphi$ 将适合多项式 $g(\lambda)$, 这与 $m(\lambda)$ 是极小多项式矛盾; 也满足 $U\neq 0$, 否则 $g(\varphi)$ 是同构, $\varphi$ 将适合多项式 $h(\lambda)$, 这与 $m(\lambda)$ 是极小多项式矛盾. 由于 $V$ 满足性质 P, 故存在 $\varphi$-不变子空间 $W$, 使得 $V=U\oplus W$, 其中 $\dim U<n$, $\dim W<n$. 由引理 1 可知, $U,W$ 都满足性质 P, 故由归纳假设可知, $\varphi|_U,\varphi|_W$ 的极小多项式 $m_U(\lambda),m_W(\lambda)$ 都无重因式, 从而 $m(\lambda)=[m_U(\lambda),m_W(\lambda)]$ 也无重因式.  $\Box$

证法二 (由杨钊杰同学提供)  用反证法, 若 $m(\lambda)$ 有重因式, 不妨设 $m(\lambda)=P(\lambda)^rg(\lambda)$, 其中 $P(\lambda)$ 是 $\mathbb{K}$ 上的首一不可约多项式, $r\geq 2$, $(P(\lambda),g(\lambda))=1$. 令 $U=\mathrm{Ker\,}P(\varphi)$, 则 $U$ 是 $\varphi$-不变子空间, 并且类似于证法一的讨论可知 $U$ 是非平凡子空间. 注意到 $\varphi|_U$ 适合多项式 $P(\lambda)$, 于是其极小多项式 $m_U(\lambda)\mid P(\lambda)$, 从而只能是 $m_U(\lambda)=P(\lambda)$. 由假设存在 $\varphi$-不变子空间 $W$, 使得 $V=U\oplus W$, 则 $W$ 也是非平凡子空间. 记 $\varphi|_W$ 的极小多项式为 $m_W(\lambda)$, 则 $m(\lambda)=[m_U(\lambda),m_W(\lambda)]$. 注意到 $m_U(\lambda)=P(\lambda)$ 并且 $r\geq 2$, 从而只能是 $m_W(\lambda)=m(\lambda)=P(\lambda)^rg(\lambda)$. 任取 $\alpha\in W$, 则 $P(\varphi)^rg(\varphi)(\alpha)=0$, 于是 $P(\varphi)^{r-1}g(\varphi)(\alpha)\in\mathrm{Ker\,}P(\varphi)=U$, 又 $P(\varphi)^{r-1}g(\varphi)(\alpha)\in W$, 从而 $P(\varphi)^{r-1}g(\varphi)(\alpha)=0$ 对任意的 $\alpha\in W$ 成立. 换言之, $\varphi|_W$ 适合多项式 $P(\lambda)^{r-1}g(\lambda)$, 这与 $m_W(\lambda)=P(\lambda)^rg(\lambda)$ 相矛盾.  $\Box$ 

证法三 (由章俊鑫同学提供)  设 $m(\lambda)=P_1(\lambda)^{r_1}P_2(\lambda)^{r_2}\cdots P_k(\lambda)^{r_k}$, 其中 $P_i(\lambda)$ 是 $\mathbb{K}$ 上互异的首一不可约多项式, $r_i\geq 1$, $k\geq 1$. 用反证法, 若 $m(\lambda)$ 有重因式, 不妨设 $r_1\geq 2$. 令 $U=\mathrm{Ker\,}P_1(\varphi)^{r_1-1}P_2(\varphi)^{r_2}\cdots P_k(\varphi)^{r_k}$, 则 $U$ 是 $\varphi$-不变子空间, 并且类似于证法一的讨论可知 $U$ 是非平凡子空间. 由假设存在 $\varphi$-不变子空间 $W$, 使得 $V=U\oplus W$, 则 $W$ 也是非平凡子空间. 任取 $0\neq\alpha\in W$, 则由 $m(\varphi)(\alpha)=0$ 可知 $P_1(\varphi)(\alpha)\in U$, 又 $P_1(\varphi)(\alpha)\in W$, 从而 $P_1(\varphi)(\alpha)=0$. 因此 $\alpha\in\mathrm{Ker\,}P_1(\varphi)\subseteq U$, 又 $\alpha\in W$, 于是 $\alpha=0$, 矛盾.  $\Box$ 

下面两种证法是利用数域 $\mathbb{K}$ 上基于初等因子的两类广义 Jordan 标准型来做的, 其中证法五利用了第二类广义 Jordan 块的不可再分性 (通常 Jordan 块的不可再分性请参考博文《Jordan 块的几何》).

证法四 (由朱民哲同学提供)  用反证法, 若 $m(\lambda)$ 有重因式, 那么 $\varphi$ 至少有一个初等因子形如 $P(\lambda)^r$, 其中 $P(\lambda)$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $d$ 次不可约多项式, $r\geq 2$. 由引理 1 可知, $V$ 的任一 $\varphi$-不变子空间都满足性质 $P$, 因此为了方便叙述, 我们不妨设 $V$ 就是初等因子 $P(\lambda)^r$ 的第一类广义 Jordan 块对应的子空间, 或者等价的, $\varphi$ 只有一个初等因子 $P(\lambda)^r$. 于是存在 $V$ 的一组基 $\{e_{1,1},e_{1,2},\cdots,e_{1,d};\cdots;e_{r,1},e_{r,2},\cdots,e_{r,d}\}$, 使得 $\varphi$ 在这组基下的表示矩阵为第一类广义 Jordan 块 $$J=J_r(P(\lambda))=\begin{pmatrix} F(P(\lambda)) & I & & & \\ & F(P(\lambda)) & I & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & I \\ & & & & F(P(\lambda)) \end{pmatrix},$$ 其中 $F=F(P(\lambda))$ 是对应于 $P(\lambda)$ 的有理块, $I$ 是单位阵. 令 $U=L(e_{1,1},e_{1,2},\cdots,e_{1,d};\cdots;e_{r-1,1},e_{r-1,2},\cdots,e_{r-1,d})$, 容易验证 $U$ 是 $\varphi$-不变子空间, 于是存在 $\varphi$-不变子空间 $W$, 使得 $V=U\oplus W$. 任取 $0\neq\alpha\in W$, 设 $\alpha=\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^dc_{i,j}e_{i,j}$, 则 $c_{r,1},c_{r,2},\cdots,c_{r,d}$ 不全为零. 设 $x=(c_{1,1},c_{1,2},\cdots,c_{1,d};\cdots;c_{r,1},c_{r,2},\cdots,c_{r,d})'$ 为 $\alpha$ 对应的坐标向量,  则向量 $P(\varphi)(\alpha)$ 对应的坐标向量为 $$P(J)x=\begin{pmatrix} 0 & P'(F) & & & \\ & 0 & P'(F) & & * \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & P'(F) \\ & & & & 0 \end{pmatrix}x.$$ 注意到 $(P(\lambda),P'(\lambda))=1$, 故 $P'(F)$ 是非异阵, 由此不难看出 $P(J)x\neq 0$ 并且它的最后 $d$ 个分量全为零. 因此 $0\neq P(\varphi)(\alpha)\in U\cap W$, 矛盾.

证法五  用反证法, 若 $m(\lambda)$ 有重因式, 那么 $\varphi$ 至少有一个初等因子形如 $P(\lambda)^r$, 其中 $P(\lambda)$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $d$ 次不可约多项式, $r\geq 2$. 由引理 1 可知, $V$ 的任一 $\varphi$-不变子空间都满足性质 $P$, 因此为了方便叙述, 我们不妨设 $V$ 就是初等因子 $P(\lambda)^r$ 的第二类广义 Jordan 块对应的子空间, 或者等价的, $\varphi$ 只有一个初等因子 $P(\lambda)^r$. 于是存在 $V$ 的一组基 $\{e_{1,1},e_{1,2},\cdots,e_{1,d};\cdots;e_{r,1},e_{r,2},\cdots,e_{r,d}\}$, 使得 $\varphi$ 在这组基下的表示矩阵为第二类广义 Jordan 块 $$J=J_r(P(\lambda))=\begin{pmatrix} F(P(\lambda)) & C & & & \\ & F(P(\lambda)) & C & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & C \\ & & & & F(P(\lambda)) \end{pmatrix},$$ 其中 $F=F(P(\lambda))$ 是对应于 $P(\lambda)$ 的有理块, $C$ 是左下角元素为 1, 其余元素为 0 的矩阵. 根据博文《16 级高代 II 思考题九的七种解法》的解答五可知, $V$ 的任意非零 $\varphi$-不变子空间 $U,W$ 都要包含子空间 $V_1=L(e_{1,1},e_{1,2},\cdots,e_{1,d})$, 从而 $U\cap W\neq 0$, 矛盾. 这也说明了第二类广义 Jordan 块的不可再分性.

另外, 蒋亦凡同学还提供了一种纯矩阵的方法来证明充分性, 限于篇幅, 不再赘述.

必要性的四种证明

证法一 (由朱民哲同学提供)  设 $W$ 是满足 $U\cap W=0$ 的维数最大的 $\varphi$-不变子空间, 我们断言 $V=U\oplus W$, 这样就证明了必要性. 用反证法, 设 $V\neq U\oplus W$, 则存在非零向量 $\alpha_1\not\in U\oplus W$. 设 $\alpha_1$ 的极小多项式 (定义参考教学论文 [2] 的定义 1) 为 $m_1(\lambda)$, 则 $m_1(\lambda)\mid m(\lambda)$. 考虑循环子空间 $C(\varphi,\alpha_1)=L(\alpha_1,\varphi(\alpha_1),\cdots,\varphi^{d_1-1}(\alpha_1))$, 其中 $1\leq d_1=\deg m_1(\lambda)\leq d=\deg m(\lambda)$,  若 $C(\varphi,\alpha_1)\cap (U\oplus W)=0$, 令 $W'=W\oplus C(\varphi,\alpha_1)$, 则 $U\cap W'=0$ 且 $\dim W'>\dim W$, 这与 $W$ 的假设矛盾. 因此存在非零向量 $g_1(\varphi)(\alpha_1)\in C(\varphi,\alpha_1)\cap (U\oplus W)$, 其中 $\deg g_1(\lambda)\leq d_1-1$. 设 $p_1(\lambda)=(g_1(\lambda),m_1(\lambda))$, 则存在 $u_1(\lambda),v_1(\lambda)$, 使得 $p_1(\lambda)=g_1(\lambda)u_1(\lambda)+m_1(\lambda)v_1(\lambda)$. 上式代入 $\lambda=\varphi$ 并作用在 $\alpha_1$ 上有 $p_1(\varphi)(\alpha_1)=u_1(\varphi)g_1(\varphi)(\alpha_1)\in C(\varphi,\alpha_1)\cap (U\oplus W)$. 由 $g_1(\varphi)(\alpha_1)\neq 0$ 可推出 $p_1(\varphi)(\alpha_1)\neq 0$, 并且由 $\alpha_1\not\in U\oplus W$ 可推出 $p_1(\lambda)$ 是 $m_1(\lambda)$ 的非常数真因式. 由于 $m(\lambda)$ 无重因式, 故 $m_1(\lambda)$ 也无重因式, 令 $q_1(\lambda)=\dfrac{m_1(\lambda)}{p_1(\lambda)}$, 则 $(p_1(\lambda),q_1(\lambda))=1$, 于是存在 $w_1(\lambda),t_1(\lambda)$, 使得 $p_1(\lambda)w_1(\lambda)+q_1(\lambda)t_1(\lambda)=1$. 上式代入 $\lambda=\varphi$ 并作用在 $\alpha_1$ 上有 $$w_1(\varphi)p_1(\varphi)(\alpha_1)+t_1(\varphi)q_1(\varphi)(\alpha_1)=\alpha_1\not\in U\oplus W,$$ 由 $p_1(\varphi)(\alpha_1)\in U\oplus W$ 马上可推出 $q_1(\varphi)(\alpha_1)\not\in U\oplus W$. 令 $\alpha_2=q_1(\varphi)(\alpha_1)$, 则 $\alpha_2\not\in U\oplus W$, 并且 $\alpha_2$ 的极小多项式 $m_2(\lambda)=\dfrac{m_1(\lambda)}{q_1(\lambda)}=p_1(\lambda)$ 满足 $1\leq d_2=\deg m_2(\lambda)<d_1=\deg m_1(\lambda)$. 继续对 $\alpha_2$ 实施上述操作, 可得到 $\alpha_3$, 等等. 换言之, 在反复利用 $W$ 的维数最大性之后, 我们得到了 $m(\lambda)$ 的无限个非常数真因式 $m_1(\lambda),m_2(\lambda),\cdots$, 这显然是不可能的, 矛盾.  $\Box$

证法二 (由蒋亦凡同学和杨钊杰同学提供)  由假设可知 $\varphi$ 的初等因子都是 $\mathbb{K}$ 上的不可约多项式, 设为 $P_1(\lambda)$, $P_2(\lambda)$, $\cdots$, $P_k(\lambda)$, 再由高代白皮书的例 7.67 可知, $\varphi$ 的广义 Jordan 标准型为 $J=\mathrm{diag}\{F(P_1(\lambda)),F(P_2(\lambda)),\cdots,F(P_k(\lambda))\}$. 设广义 Jordan 块 $F(P_i(\lambda))$ 对应的子空间为 $V_i$, 则 $V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_k$. 我们对 $\dim U$ 进行反向归纳. 若 $\dim U=n$, 即 $U=V$, 结论显然成立. 设 $\dim U>m$ 时, 结论成立, 现考虑 $\dim U=m$ 的情形. 首先断言: 若 $U\cap V_i\neq 0$, 则 $V_i\subseteq U$. 事实上, 注意到 $\varphi|_{V_i}$ 的特征多项式为 $P_i(\lambda)$, 这是 $\mathbb{K}$ 上的不可约多项式, 若设 $\varphi$ 在 $U\cap V_i$ 上限制的特征多项式为 $f_i(\lambda)$, 则容易验证 $f_i(\lambda)\mid P_i(\lambda)$, 从而只能是 $f_i(\lambda)=P_i(\lambda)$, 于是 $U\cap V_i=V_i$, 即 $V_i\subseteq U$. 下面依次考虑 $U$ 与 $V_1,V_2,\cdots,V_k$ 之间的关系. 若 $U\cap V_1=0$, 则令 $U'=U\oplus V_1$, 注意到 $\dim U'>m$, 从而由归纳假设存在 $\varphi$-不变子空间 $W'$, 使得 $V=U'\oplus W'=U\oplus V_1\oplus W'$, 再令 $W=V_1\oplus W'$ 即得结论. 若 $U\cap V_1\neq 0$, 则 $V_1\subseteq U$, 那么接下去考虑 $U$ 与 $V_2$ 之间的关系即可. 一直这样做下去, 最后可知结论成立.  $\Box$

证法三 (由章俊鑫同学提供)  根据博文《16 级高代 II 思考题九的七种解法》中引理 1 类似的讨论, 可将构造 $U$ 的 $\varphi$-不变补空间的问题化约到 $\varphi$ 的极小多项式 $m(\lambda)$ 是 $\mathbb{K}$ 上的不可约多项式的情形. 任取 $U$ 的一组基, 并扩张为 $V$ 的一组基, 那么 $\varphi$ 在这组基下的表示矩阵为 $M=\begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix}$. 由 $m(M)=0$ 可得 $m(A)=0$, $m(B)=0$, 又 $m(\lambda)$ 在 $\mathbb{K}$ 上不可约, 从而 $A,B$ 的极小多项式都是 $m(\lambda)$, 于是 $A,B$ 的广义 Jordan 标准型都是由若干个友阵 $C(m(\lambda))$ 构成的分块对角阵. 为了叙述方便起见, 下面不妨假设 $A,B$ 的广义 Jordan 标准型就是 $C(m(\lambda))$ (一般的情形证明完全类似), 因此存在 $V$ 的一组基 $\{e_1,e_2,\cdots,e_d;f_1,f_2,\cdots,f_d\}$, 使得 $U=L(e_1,e_2,\cdots,e_d)$, $\varphi$ 在这组基下的表示矩阵为 $\begin{pmatrix} C(m(\lambda)) & * \\ 0 & C(m(\lambda)) \end{pmatrix}$. 由分块矩阵的定义可得 $$\varphi(f_1)=f_2+\alpha_2,\,\,\varphi(f_2)=f_3+\alpha_3,\,\,\cdots,\,\,\varphi(f_{d-1})=f_d+\alpha_d,$$ 其中 $\alpha_2,\alpha_3,\cdots,\alpha_d$ 都是 $U$ 中的向量. 经过整理可得 $\varphi^{i-1}(f_1)=f_i+\beta_i\,(1\leq i\leq d)$, 其中 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_d$ 都是 $U$ 中的向量. 通过简单的计算可知, $\{e_1,e_2,\cdots,e_d;f_1,\varphi(f_1),\cdots,\varphi^{d-1}(f_1)\}$ 也是 $V$ 的一组基, 令 $W=L(f_1,\varphi(f_1),\cdots,\varphi^{d-1}(f_1))$, 则由 $f_1$ 的极小多项式为 $m(\lambda)$ (其次数为 $d$) 可知, $W$ 是 $\varphi$-不变子空间 (也就是循环子空间 $C(\varphi,f_1)$), 并且 $V=U\oplus W$, 结论得证.  $\Box$

证法三展现给我们这样一种思路, 那就是寻找 $U$ 的 $\varphi$-不变补空间 $W$, 等价于寻找一种相似变换 (也就是基变换), 它把分块上三角阵变成分块对角阵. 这种思路把几何问题转化成代数问题 (线性方程组求解问题), 然后我们就能利用基域扩张来进行处理了.

引理 2  设复矩阵 $M=\begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix}$ 可对角化, 其中 $A,B$ 分别是 $m,n$ 阶复方阵, 则矩阵方程 $AX-XB=C$ 有解.

证明  这是15 级高代 II 期末考试第七大题.  $\Box$

证法四  任取 $U$ 的一组基, 并扩张为 $V$ 的一组基, 那么 $\varphi$ 在这组基下的表示矩阵为 $M=\begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix}$, 其中 $A,B,C$ 都是 $\mathbb{K}$ 上的矩阵. 注意到 $M$ 的极小多项式 $m(\lambda)$ 无重因式, 由极小多项式在基域扩张下的不变性可知, 若把 $M$ 看成是复矩阵, 那么 $M$ 的极小多项式仍然是 $m(\lambda)$, 它在复数域上无重根, 于是 $M$ 复可对角化. 根据引理 2 可知, 矩阵方程 (这等价于一个线性方程组) $AX-XB=C$ 在复数域上有解, 由线性方程组的解在基域扩张下的不变性 (参考教学论文 [3] 的命题 2) 可知, 矩阵方程 $AX-XB=C$ 在 $\mathbb{K}$ 上也有解, 设为 $X=X_0$. 因此下面 $\mathbb{K}$ 上的相似变换 (等价于基变换) 可将 $M$ 化成分块对角阵: $$\begin{pmatrix} I & X_0 \\ 0 & I \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I & -X_0 \\ 0 & I \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix},$$ 由此即得结论.  $\Box$

研究 $\varphi$-不变子空间是否存在 $\varphi$-不变补空间, 这个问题从表示论的角度来看是有意义的, 比如它可以推导出表示的完全可约性. 作为本道思考题的一个简单应用, 我们来看一道也可以用典型的表示论方法来做的题目.

应用  设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, 满足 $\varphi^m=I_V$, 其中 $m\geq 1$. 证明: 对 $V$ 的任一 $\varphi$-不变子空间 $U$, 均存在 $\varphi$-不变子空间 $W$, 使得 $V=U\oplus W$.

证法一  注意到 $\varphi$ 的极小多项式 $m(\lambda)$ 整除 $\lambda^m-1$, 后者没有重因式 (它与它的形式导数互素), 所以 $m(\lambda)$ 也无重因式, 于是由思考题十即得结论.

证法二 (表示论的方法)  先任取 $U$ 的一个补空间 $U'$, 即 $V=U\oplus U'$, 并设 $p:V\rightarrow U$ 为投影映射 (参考高代白皮书第 204 页第一行的定义). 考虑新的映射 $$\pi:V\rightarrow U,\,\,\,\,\pi(v)=\frac{1}{m}\sum_{i=0}^{m-1}\varphi^{-i}p\varphi^i(v),$$ 容易验证 $\pi: V\rightarrow U$ 是线性映射, 并且对任意的 $u\in U$, 由 $U$ 的 $\varphi$-不变性可得 $\pi(u)=u$. 这说明 $\pi$ 是一个满射, 同时也说明对任意的 $v\in V$, $\pi^2(v)=\pi(v)$, 即 $\pi^2=\pi$ 成立. 令 $W=\mathrm{Ker\,}\pi$, 先来证明 $W$ 是  $\varphi$-不变子空间. 任取 $w\in W$, 即 $\pi(w)=0$, 于是 $$\pi(\varphi(w))=\frac{1}{m}\sum_{i=0}^{m-1}\varphi^{-i}p\varphi^{i+1}(w)=\varphi(\frac{1}{m}\sum_{i=0}^{m-1}\varphi^{-i-1}p\varphi^{i+1}(w))=\varphi(\pi(w))=\varphi(0)=0,$$ 即 $\varphi(w)\in W$. 另一方面, 容易验证 $V=U\oplus W$, 结论得证.  $\Box$

 

参考文献

[1] 谢启鸿, 循环子空间的若干应用, 大学数学, 2016, 32(1), 1–6.

[2] 谢启鸿, 循环子空间的进一步应用, 大学数学, 2017, 33(1), 17–25.

[3] 谢启鸿, 高等代数中若干概念在基域扩张下的不变性, 大学数学, 2015, 31(6), 50–55.

[4] 谢启鸿, Galois 理论在高等代数中的若干应用, 大学数学, 2016, 32(6), 8–12.