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复旦高等代数 I(15级)每周一题

[问题2015A01]  证明: 第三类分块初等变换是若干个第三类初等变换的复合. 特别地, 第三类分块初等变换不改变行列式的值.

[问题2015A02]  设 n(n2) 阶方阵 A=(aij(x)), 其中每个元素 aij(x) 都是关于未定元 x 的多项式. 若 k 是正整数, 满足 xk 整除 A 的所有代数余子式 Aij, 证明: xk+1 整除 A 的行列式 |A|.

提示  考虑 A 的伴随矩阵 A 的行列式. 另外, 本题还可以推广为: 若 k 是正整数, p(x) 是数域 K 上的不可约多项式, 满足 p(x)k 整除 A 的所有代数余子式 Aij, 则 p(x)k+1 整除 |A|.

[问题2015A03]  设 M=(a21a1a2+1a1an+1a2a1+1a22a2an+1ana1+1ana2+1a2n), 证明: r(M)n1.

提示  参考复旦高代教材第102页的例2.6.5, 可用秩的降阶公式来做.

[问题2015A04]  设 Am×n 实矩阵, 试用秩的子式判别法和 Cauchy-Binet 公式证明: r(AA)=r(AA)=r(A).

提示  这是复旦高代教材第179页的复习题41, 复旦高代白皮书第151页的例3.72, 那里用的是线性方程组的求解理论来做的.

[问题2015A05]  设 A,B 都是 n 阶方阵, 约定 A0=In.

(1) 若 k 是非负整数, 使得 r(Ak)=r(Ak+1), 证明: 对任意的 ik, r(Ai)=r(Ak).

(2) 记 s(A)=min, 称为 A 的稳定指数, 意味着从 i\geq s(A) 开始, A^i 的秩保持稳定了, 这个最终稳定的秩记为 r_{\infty}(A), 即 r_{\infty}(A)=r(A^i), \forall\,i\geq s(A). 证明: s(A) 必存在, 并且是 0n 之间的某个自然数.

(3) 证明: r_{\infty}(AB)=r_{\infty}(BA).

(4) 证明: |s(AB)-s(BA)|\leq 1, 并举例说明可取到 A,B, 使得 |s(AB)-s(BA)|=1.

提示  前面两问参考复旦高代白皮书例4.32的证明. 后面两问合在一起考虑, 利用秩的基本公式以及 (AB)^{i+1}=A(BA)^iBB(AB)^{i+1}A=(BA)^{i+2} 来证明.

[问题2015A06]  设 A=(a_{ij})n 阶方阵, A_{ij} 表示元素 a_{ij} 对应的代数余子式. 设 1\leq i_1<\cdots<i_r\leq n, 1\leq j_1<\cdots<j_r\leq n 为两组给定的指标集, \hat{\,i} 表示 i 不在指标集中, 试证明:

\begin{vmatrix} A_{i_1j_1} & \cdots & A_{i_rj_1} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ A_{i_1j_r} & \cdots & A_{i_rj_r} \end{vmatrix}=(-1)^{i_1+\cdots+i_r+j_1+\cdots+j_r}A\begin{pmatrix} 1 & \cdots & \hat{i_1} & \cdots & \hat{i_r} & \cdots & n \\ 1 & \cdots & \hat{j_1} & \cdots & \hat{j_r} & \cdots & n \end{pmatrix}|A|^{r-1}.

提示  先利用公式 AA^*=|A|I_n 以及复旦高代白皮书例9.39类似的方法证明 i_1=j_1=1, \cdots, i_r=j_r=r 的特殊情形, 然后再利用行列对换将一般情形化约到特殊情形即可.

[问题2015A07]  设 VM_n(\mathbb{K}) 的子空间, 满足 V 中所有的非零矩阵都是非异阵, 证明: \dim_{\mathbb{K}}V\leq n.

提示  构造 M_n(\mathbb{K}) 的子空间 U, 满足 U 中所有的矩阵都是奇异阵且 \dim U=n^2-n, 然后利用直和 V\oplus U\subseteq M_n(\mathbb{K}) 得到结论.

[问题2015A08]  设 \varphin 维线性空间 V 上的线性变换, 满足 \varphi^m=0, 其中 m,q 为正整数, n=mq+1. 证明: \dim\mathrm{Im\,}\varphi\leq n-q-1.

提示  代数方法可用 Sylvester 不等式, 几何方法可用线性映射的维数公式.

[问题2015A09]  定义: 线性空间 V 中的一族向量 B=\{e_i\}_{i\in I} 称为线性无关的, 如果 B 中任意有限个向量都是线性无关的. B=\{e_i\}_{i\in I} 称为线性空间 V 的一组基, 如果 B 是线性无关的, 并且 V=L(B), 即 V 中任一向量都是 B 中有限个向量的线性组合. 利用 Zorn 引理或选择公理可证明任一线性空间 V 中都存在一组基 B (在抽象代数课中会给出证明, 大家现在予以承认即可).

(1) 证明: \mathbb{K}[x] 的一组基为 B=\{1,x,x^2,x^3,\cdots\}.

(2) 举例说明: 复旦高代教材第 204 页的习题 3 对无限维线性空间一般并不成立, 即存在无限维线性空间 V 上的自同构 \varphi 以及 \varphi 的不变子空间 W, 但 W 不是 \varphi^{-1} 的不变子空间.

提示  考虑 V=\mathbb{K}[x] 的基之间的双射诱导的线性自同构, 然后再构造相应的 \varphi-不变子空间 W.

[问题2015A10]  设 V 是数域 \mathbb{K} 上的 n 维线性空间, \varphiV 上的线性变换, 证明下列条件等价:

(1) V=\mathrm{Ker\,}\varphi+\mathrm{Im\,}\varphi;

(2) V=\mathrm{Ker\,}\varphi\oplus\mathrm{Im\,}\varphi;

(3) \mathrm{Ker\,}\varphi\cap\mathrm{Im\,}\varphi=0;

(4) \mathrm{Ker\,}\varphi=\mathrm{Ker\,}\varphi^2, 或等价地, \dim\mathrm{Ker\,}\varphi=\dim\mathrm{Ker\,}\varphi^2;

(5) \mathrm{Im\,}\varphi=\mathrm{Im\,}\varphi^2, 或等价地, r(\varphi)=r(\varphi^2);

(6) \mathrm{Ker\,}\varphi 存在 \varphi-不变的补空间, 即存在 \varphi-不变子空间 U, 使得 V=\mathrm{Ker\,}\varphi\oplus U;

(7) \mathrm{Im\,}\varphi 存在 \varphi-不变的补空间, 即存在 \varphi-不变子空间 W, 使得 V=\mathrm{Im\,}\varphi\oplus W.

[问题2015A11]  设 f_1(x),f_2(x),\cdots,f_m(x)\in\mathbb{K}[x], 证明: ((f_1(x),f_2(x)),f_3(x),\cdots,f_m(x))=(f_1(x),f_2(x),f_3(x),\cdots,f_m(x)), [[f_1(x),f_2(x)],f_3(x),\cdots,f_m(x)]=[f_1(x),f_2(x),f_3(x),\cdots,f_m(x)].

  复旦高代书第 216 页定理 5.3.1 告诉我们: 可用辗转相除法求两个多项式的最大公因式, 第 220 页推论 5.3.6 将求两个多项式的最小公倍式转化为求两个多项式的最大公因式. 由于最大公因式 (最小公倍式) 的定义与 f_i(x) 的顺序无关, 上述公式告诉我们: 求 m 个多项式的最大公因式 (最小公倍式) 时, 可以任意选取两个多项式先求最大公因式 (最小公倍式), 然后再求 m-1 个多项式的最大公因式 (最小公倍式), 这样不断地递推下去, 最后可求得 m 个多项式的最大公因式 (最小公倍式). 这是一种不依赖于多项式因式分解的可计算的方法.

[问题2015A12]  设循环矩阵 A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_n & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_n & a_1 & \cdots & a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_2 & a_3 & a_4 & \cdots & a_1 \end{pmatrix} 是非异阵, 求证: A^{-1} 也是循环矩阵.

提示  利用新白皮书的例2.12、例2.52和例5.75类似的证明方法 (互素多项式的应用) 来做.

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