[问题2015S03] 复旦高等代数 II（14级）每周一题（第四教学周）

[问题2015S03]  设 \(g(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上的多项式, \(V\) 是 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 维线性空间, \(\varphi\) 是 \(V\) 上的线性变换, \(\alpha_1\neq 0,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\) 是 \(V\) 中的向量, 满足 \[\varphi(\alpha_1)=\alpha_2,\,\varphi(\alpha_2)=\alpha_3,\,\cdots,\,\varphi(\alpha_{n-1})=\alpha_n,\,\varphi(\alpha_n)=-a_n\alpha_1-a_{n-1}\alpha_2-\cdots-a_1\alpha_n.\] 证明: 若 \(g(x)\) 在 \(\mathbb{K}\) 上不可约, 则 \(\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\}\) 是 \(V\) 的一组基. 举例说明: 若 \(g(x)\) 在 \(\mathbb{K}\) 上可约, 则上述结论一般并不成立.