[问题2015S01] 复旦高等代数 II（14级）每周一题（第二教学周）

[问题2015S01]  设 \(M_n(\mathbb{R})\) 是 \(n\) 阶实方阵全体构成的实线性空间, \(\varphi\) 是 \(M_n(\mathbb{R})\) 上的线性变换, 使得对于给定的 \(A,B\in M_n(\mathbb{R})\), 或者 \(\varphi(AB)=\varphi(A)\varphi(B)\) 成立, 或者 \(\varphi(AB)=\varphi(B)\varphi(A)\) 成立. 证明: 或者 \(\varphi(AB)=\varphi(A)\varphi(B)\) 对任意的 \(A,B\in M_n(\mathbb{R})\) 都成立, 或者  \(\varphi(AB)=\varphi(B)\varphi(A)\) 对任意的 \(A,B\in M_n(\mathbb{R})\) 都成立.

提示  可以利用线性空间的性质 (复旦高代书 P164 习题 11) 或多元多项式的整性 (复旦高代书 P242 命题 5.8.1) 来证明.