复旦大学2014--2015学年第一学期（14级）高等代数I期末考试第八大题解答
八、(本题10分) 设 \(A,B\) 均为 \(m\times n\) 矩阵, 满足 \(r(A+B)=r(A)+r(B)\), 证明: 存在 \(m\) 阶非异阵 \(P\), \(n\) 阶非异阵 \(Q\), 使得 \[PAQ=\begin{pmatrix} I_r & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\,\,\,\,PBQ=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & I_s & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.\]
证法一 (代数证法)
设 \(r(A)=r\), \(r(B)=s\), 则 \(r(A+B)=r+s\), 且存在 \(m\) 阶非异阵 \(S\), \(n\) 阶非异阵 \(T\), 使得 \[SAT=\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\,\,\,\,SBT=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix},\,\,\,\,S(A+B)T=\begin{pmatrix} I_r+B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}.\] 因为 \(r(A+B)=r+s\), 删去 \(S(A+B)T\) 的前 \(r\) 行, 可得后 \(m-r\) 行的秩必大于等于 \(s\), 即 \(r(B_{21},B_{22})\geq s\). 另一方面, 我们还有 \(r(B_{21},B_{22})\leq r(B)=s\), 故 \(r(B_{21},B_{22})=r(B)=s\), 从而 \((B_{21},B_{22})\) 的行向量的极大无关组也是 \(SBT\) 的行向量组的极大无关组. 因此利用 \(SBT\) 的后 \(m-r\) 行的初等行变换可以消去 \(SBT\) 的前 \(r\) 行, 同理可证利用 \(SBT\) 的后 \(n-r\) 列的初等列变换可以消去 \(SBT\) 的前 \(r\) 列, 即存在 \(m\) 阶非异阵 \(U\), \(n\) 阶非异阵 \(V\), 使得 \[USATV=\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\,\,\,\,USBTV=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & B_{22} \end{pmatrix}.\] 此时存在 \(m-r\) 阶非异阵 \(C\), \(n-r\) 阶非异阵 \(D\), 使得 \(CB_{22}D=\begin{pmatrix} I_s & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\). 令 \[P=\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & C \end{pmatrix}US,\,\,\,\,Q=TV\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & D \end{pmatrix},\] 则 \(P\) 为 \(m\) 阶非异阵, \(Q\) 为 \(n\) 阶非异阵且满足题目结论.
证法二 (几何证法)
把题目转换成几何的语言: 设 \(V=\mathbb{K}^n\) 为 \(n\) 维列向量空间, \(U=\mathbb{K}^m\) 为 \(m\) 维列向量空间, \(\varphi_A,\varphi_B:V\to U\) 分别是矩阵 \(A,B\) 左乘诱导的线性映射, 满足 \(r(\varphi_A+\varphi_B)=r(\varphi_A)+r(\varphi_B)\), 证明: 存在 \(V\) 的一组基, \(U\) 的一组基, 使得 \(\varphi_A,\varphi_B\) 在这两组基下的表示矩阵分别是 \[\begin{pmatrix} I_r & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\,\,\,\,\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & I_s & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.\]
设 \(r(A)=r\), \(r(B)=s\), 则 \(r(A+B)=r+s\). 注意到 \[r(A+B)\leq r\begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}\leq r(A)+r(B),\] 因此 \(r\begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}=r+s\), 从而 \(\dim(\mathrm{Ker\,}\varphi_A\cap\mathrm{Ker\,}\varphi_B)=n-(r+s)\). 由子空间的维数公式可得 \[\dim(\mathrm{Ker\,}\varphi_A+\mathrm{Ker\,}\varphi_B)=(n-r)+(n-s)-(n-r-s)=n,\] 故有 \(V=\mathrm{Ker\,}\varphi_A+\mathrm{Ker\,}\varphi_B\). 另一方面, 注意到 \[r(A+B)=\dim\mathrm{Im\,}(\varphi_A+\varphi_B)\leq \dim(\mathrm{Im\,}\varphi_A+\mathrm{Im\,}\varphi_B)\leq \dim\mathrm{Im\,}\varphi_A+\dim\mathrm{Im\,}\varphi_A=r(A)+r(B),\] 因此 \[\mathrm{Im\,}(\varphi_A+\varphi_B)=\mathrm{Im\,}\varphi_A+\mathrm{Im\,}\varphi_B=\mathrm{Im\,}\varphi_A\oplus\mathrm{Im\,}\varphi_B.\cdots(1)\]
取 \(\mathrm{Ker\,}\varphi_A\cap\mathrm{Ker\,}\varphi_B\) 的一组基 \(\{e_{r+s+1},\cdots,e_n\}\), 将其扩张为 \(\mathrm{Ker\,}\varphi_A\) 的一组基 \(\{e_{r+1},\cdots,e_n\}\), 再将其扩张为 \(\mathrm{Ker\,}\varphi_B\) 的一组基 \(\{e_1,\cdots,e_r,e_{r+s+1},\cdots,e_n\}\). 根据复旦高代书第 160 页子空间维数公式的证明过程可知: \(\{e_1,\cdots,e_n\}\) 恰好是 \(V=\mathrm{Ker\,}\varphi_A+\mathrm{Ker\,}\varphi_B\) 的一组基. 根据线性映射维数公式的另一个直接证明 (我在第四章复习时讲过) 可知: \(\{Ae_1,\cdots,Ae_r\}\) 是 \(\mathrm{Im\,}\varphi_A\) 的一组基, \(\{Be_{r+1},\cdots,Be_{r+s}\}\) 是 \(\mathrm{Im\,}\varphi_B\) 的一组基. 又由 (1) 可知 \(\{Ae_1,\cdots,Ae_r,Be_{r+1},\cdots,Be_{r+s}\}\) 线性无关, 故可扩张为 \(U\) 的一组基 \(\{Ae_1,\cdots,Ae_r,Be_{r+1},\cdots,Be_{r+s},f_{r+s+1},\cdots,f_m\}\).
最后容易验证: \(\varphi_A,\varphi_B\) 在 \(V\) 的一组基 \(\{e_1,\cdots,e_n\}\) 和 \(U\) 的一组基 \(\{Ae_1,\cdots,Ae_r,Be_{r+1},\cdots,Be_{r+s},f_{r+s+1},\cdots,f_m\}\) 下的表示矩阵即为所要求的矩阵. \(\Box\)
