[问题2014A13] 复旦高等代数 I（14级）每周一题（第十五教学周）

[问题2014A13]  设 \(V\) 是数域 \(K\) 上的 \(n\) 维线性空间, \(\varphi\) 是 \(V\) 上的幂零线性变换且满足 \(\mathrm{r}(\varphi)=n-1\), 求证: \(V\) 是关于线性变换 \(\varphi\) 的循环空间, 即存在向量 \(\alpha\in V\), 使得 \[V=L(\alpha,\varphi(\alpha),\cdots,\varphi^{n-1}(\alpha),\varphi^n(\alpha),\cdots).\]