[问题2014A04] 复旦高等代数 I（14级）每周一题（第六教学周）

[问题2014A04]  设 \(A,B,C,D\) 均为 \(n\) 阶方阵.

(1) 若 \(A^2=A\), \(B^2=B\), \((A+B)^2=A+B\), 证明: \(AB=BA=0\).

(2) 若存在正整数 \(k\), 使得 \((AB)^k=0\), 证明: \(I_n-BA\) 是可逆阵.

(3) 若 \(A,D\) 和 \(D-CA^{-1}B\) 均为可逆阵, 证明: \(A-BD^{-1}C\) 也是可逆阵, 并求其逆阵.