[问题2014S13] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第十三教学周）

[问题2014S13]  (1)  设 \(A\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 阶非异阵, 若存在主对角元全为 \(1\) 的下三角阵 \(L\in M_n(\mathbb{K})\) 以及上三角阵 \(U\in M_n(\mathbb{K})\) 使得 \(A=LU\), 则称方阵 \(A\) 存在 \(LU\) 分解 (\(L\) 表示下三角, \(U\) 表示上三角). 证明: \(n\) 阶非异阵 \(A\) 存在 \(LU\) 分解的充分必要条件是 \(A\) 的 \(n\) 个顺序主子式都不等于零. 此时, \(A\) 的 \(LU\) 分解是唯一的.

(2)  设 \(A\) 是 \(n\) 阶正定实对称阵, 证明: 存在唯一的主对角元全大于零的上三角阵 \(C\in M_n(\mathbb{R})\) 使得 \(A=C'C\). 正定实对称阵 \(A\) 的上述分解称为 Cholesky 分解.