复旦大学2013--2014学年第一学期（13级）高等代数I期末考试第八大题解答

八、（本题10分）设 \(V\) 为数域 \(K\) 上的 \(n\) 维线性空间,  \(\varphi\) 为 \(V\) 上的线性变换, 且存在非零向量 \(\alpha\in V\) 使得 \(V=L(\alpha,\varphi(\alpha),\varphi^2(\alpha),\cdots)\).

(1) 证明: \(\{\alpha,\varphi(\alpha),\cdots,\varphi^{n-1}(\alpha)\}\) 为 \(V\) 的一组基.

(2) 设 \(\varphi^n(\alpha)=-a_0\alpha-a_1\varphi(\alpha)-\cdots-a_{n-1}\varphi^{n-1}(\alpha)\), 令 \(f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\in K[x]\). 证明: 如果 \(f(x)\) 在数域 \(K\) 上至少有两个互异的首一不可约因式, 则存在非零向量 \(\beta,\gamma\in V\) 使得 \[ V=L(\beta,\varphi(\beta),\varphi^2(\beta),\cdots)\oplus L(\gamma,\varphi(\gamma),\varphi^2(\gamma),\cdots).\]

证明  (1) 设 \(k=\max\{r\in\mathbb{Z}^+\,|\,\alpha,\varphi(\alpha),\cdots,\varphi^{r-1}(\alpha)\) 线性无关\(\}\). 由于 \(\alpha\neq 0\) 且 \(\dim V\) 有限, 故这样的最大值 \(k\) 必存在. 于是 \(\alpha,\varphi(\alpha),\cdots,\varphi^{k-1}(\alpha)\) 线性无关且易证 \(\varphi^k(\alpha)\) 是 \(\alpha,\varphi(\alpha),\cdots,\varphi^{k-1}(\alpha)\) 的线性组合. 利用数学归纳法易证对任意的 \(j\geq k\),  \(\varphi^j(\alpha)\) 都是 \(\alpha,\varphi(\alpha),\cdots,\varphi^{k-1}(\alpha)\) 的线性组合, 故 \(V=L(\alpha,\varphi(\alpha),\varphi^2(\alpha),\cdots)=L(\alpha,\varphi(\alpha),\cdots,\varphi^{k-1}(\alpha))\), 从而 \(k=\dim V=n\), 即\(\{\alpha,\varphi(\alpha),\cdots,\varphi^{n-1}(\alpha)\}\) 是 \(V\) 的一组基.

(2) 由 (1) 可知: 对任意非零多项式 \(g(x)\) 且 \(\deg g(x)<n\), 均有 \(g(\varphi)(\alpha)\neq 0\). 由假设知 \(f(\varphi)(\alpha)=0\), 从而对任意的 \(v\in V\) 均有 \(f(\varphi)(v)=0\). 由假设不妨设 \(f(x)=g(x)h(x)\), 其中 \(\deg g(x)<n\),  \(\deg h(x)<n\),  \((g(x),h(x))=1\). 因此存在 \(u(x),v(x)\in K[x]\) 使得 \[g(x)u(x)+h(x)v(x)=1,\]

代入 \(x=\varphi\) 有:\[g(\varphi)u(\varphi)+h(\varphi)v(\varphi)=I_V.\]

由此式及 \(g(\varphi)h(\varphi)(v)=0\) 对任意的 \(v\in V\) 成立, 容易证明: \[V=\mathrm{Ker}g(\varphi)\oplus\mathrm{Ker}h(\varphi).\]

令 \(\beta=h(\varphi)(\alpha)\),  则 \(0\neq\beta\in\mathrm{Ker}g(\varphi)\); 令 \(\gamma=g(\varphi)(\alpha)\),  则 \(0\neq\gamma\in\mathrm{Ker}h(\varphi)\). 注意到

\begin{eqnarray*} \alpha &=& v(\varphi)h(\varphi)(\alpha)+u(\varphi)g(\varphi)(\alpha) \\ &=& v(\varphi)(\beta)+u(\varphi)(\gamma)\in L(\beta,\varphi(\beta),\cdots)+L(\gamma,\varphi(\gamma),\cdots).\end{eqnarray*}

又 \(L(\beta,\varphi(\beta),\cdots)\subseteq\mathrm{Ker}g(\varphi)\), \(L(\gamma,\varphi(\gamma),\cdots)\subseteq\mathrm{Ker}h(\varphi)\), 故有

\[V=L(\alpha,\varphi(\alpha),\cdots)\subseteq L(\beta,\varphi(\beta),\cdots)\oplus L(\gamma,\varphi(\gamma),\cdots)\subseteq\mathrm{Ker}g(\varphi)\oplus\mathrm{Ker}h(\varphi)=V.\]

因此, \[V=L(\beta,\varphi(\beta),\cdots)\oplus L(\gamma,\varphi(\gamma),\cdots).\,\,\Box\]