谢启鸿谈“如何学好高等代数”
高等代数和数学分析、解析几何一起，并称为数学系本科生的三大基础课。所谓基础课，顾名思义，就是本科四年的所有数学课程，都是以上述三门课作为基础。因此对一年级新生而言，学好这三门基础课，其重要性不言而喻。另一方面，从高中阶段的“中等数学”过渡到大学阶段的“高等数学”，中间需要一个思维转变和理解进阶的过程。这个过程延续的时间可长可短，完全取决于个人的能力和努力。因此，如何通过学好这三门基础课，尽快跨越这个转变过程，对一年级新生而言，其意义更加重大。
本人从2009年2月至2010年1月担任高等代数习题课教师，从2010年2月至今一直担任高等代数主讲教师，已教过复旦大学数学科学学院2008级—2023级共16届本科生。在本文中，我将通过自己在教学中的切身体会，与大家分享学好高等代数的一些经验和方法。
一、将三门基础课作为一个整体去学，摒弃孤立的学习，提倡综合的思考
恩格斯曾经说过：“数学是研究数和形的科学。”这位先哲对数学的这一概括，从现代数学的发展来看，已经远远不够准确了，但这一概括却点明了数学最本质的研究对象，即为“数”与“形”。比如说，从“数”的研究衍生出数论、代数、函数、方程等数学分支；从“形”的研究衍生出几何、拓扑等数学分支。20世纪以来，这些传统的数学分支相互渗透、相互交叉，形成了现代数学最前沿的研究方向，比如说，代数数论、解析数论、代数几何、微分几何、代数拓扑、微分拓扑等等。可以说，现代数学正朝着各种数学分支相互融合的方向继续蓬勃地发展下去。
数学分析、高等代数、解析几何这三门基础课，恰好是数学最重要的三个分支—分析、代数、几何的最重要的基础课程。根据每门课程的特点，学习方法当然各不相同，但如果不能以一种整体的眼光去学习和思考，即使每门课都得了A，也不见得就学的很好。学院的资深教授曾向我们抱怨：“有的问题只要画个图，想一想就做出来了，怎么现在的学生做题，拿来就只知道死算，连个图也不画一下。”当然，造成这种不足的原因肯定是多方面的。比如说，从教的角度来看，各门课程的教材或授课在某种程度上过于强调自身的特点，很少以整体的眼光去讲授课程或处理问题，课程之间的相互联系也涉及的较少；从学的角度来看，学生们大都处于孤立学习的状态，也就是说，孤立在某门课程中学习这门课程，缺乏对多门课程的整体把握和综合思考。
根据我的经验，将高等代数和解析几何作为一个整体去学，效果肯定比单独学好，因为高等代数中最核心的概念是“线性空间”，这是一个几何对象；而且高等代数中的很多内容都是解析几何的自然延续和推广。另外，高等代数中还有一些分析方面的技巧，比如说“摄动法”，它是一种分析的方法，可以让我们把问题从一般矩阵化到非异矩阵的情形来处理。因此，要学好高等代数，首先要跳出高等代数，将三门基础课作为一个整体去学，摒弃孤立的学习，提倡综合的思考。
二、正确认识代数学的特点，在抽象和具体之间找到结合点
代数学（包括高等代数和抽象代数）给人的印象就是“抽象”，这与另外两门基础课有很大的不同。以“线性空间”的定义为例，集合V上定义了加法和数乘两种运算，并且这两种运算满足八条性质，那么V就称为线性空间。我想第一次学高等代数的同学都会认为这个定义太抽象了。其实在高等代数中，这样抽象的定义比比皆是。不过这样的抽象是有意义的，因为我们可以验证三维欧氏空间、连续函数全体、多项式全体、矩阵全体都是线性空间，也就是说，线性空间是从许多具体例子中抽象出来的概念，具有绝对的一般性。代数学的研究方法是，从许多具体的例子中抽象出某个概念；然后通过代数的方法对这一概念进行研究，得到一般的结论；最后再将这些结论返回到具体的例子中，得到各种运用。因此，“具体—>抽象—>具体”，这便是代数学的特点。
在认识了代数学的特点后，就可以有的放矢地学习高等代数了。我们可以通过具体的例子去理解抽象的定义和证明；我们可以将定理的结论运用到具体的例子中，从而加深对定理的理解和掌握；我们还可以通过具体例子的启发，去发现和证明一些新的结果。因此，要学好高等代数，就需要正确认识抽象和具体的辩证关系，在抽象和具体之间找到结合点。
三、高等代数不仅要学代数，也要学几何，更要在代数和几何之间建立一座桥梁
随着时代的变迁，高等代数的教学内容和方式也在不断地发展。大概在1990年代之前，国内高校的高等代数教材大多以“矩阵论”作为中心，强调矩阵的技巧；1990年代之后，国内高校的高等代数教材渐渐地改变为以“线性空间理论”作为中心，强调几何的意义。作为缩影，复旦的高等代数教材也经历了这样一个变化过程，1993年之前使用的屠伯埙老师的教材强调“矩阵论”；1993年之后使用的姚慕生老师的教材强调“线性空间理论”。从“单纯重视代数”到“代数与几何并重”，这其实是高等代数教学观念的一种全球性的改变，这种改变应该与现代数学的发展密切相关吧！
我认为学好高等代数的方法应该是：深入理解几何意义、熟练掌握代数方法。
首先，高等代数中许多抽象的概念都有具体的几何背景。因此，利用几何直观、理解几何意义，将有助于我们更好地掌握高等代数中抽象的定义和定理。比如说，当面对“行列式”、“矩阵”和“线性方程组的解”等代数概念的时候，我们应该好好想一想，它们的几何意义究竟是什么呢？
其次，高等代数中很多问题都是几何问题，我们经常将几何问题代数化，然后用代数方法去解决它。当然，对于一些代数问题，我们有时也将其几何化，然后用几何方法去处理它。
最后，代数和几何之间存在一座桥梁，这就是代数和几何之间的转换语言。有了这座桥梁，我们就可以在代数和几何之间来去自由、游刃有余。因此，要学好高等代数，不仅要学代数，也要学几何，更要在代数和几何之间建立一座桥梁。
四、学好教材，用好白皮书，练好基本功
复旦现行的高等代数教材是本人、姚慕生老师和吴泉水老师编著的《高等代数学（第四版）》。这本教材从1993年开始沿用至今，已有30年的历史。教材主线分明、重点突出、内容翔实、习题丰富，连续荣获“十五”、“十一五”和“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材。
复旦现行的高等代数学习指导书是本人和姚慕生老师编著的《高等代数（第四版）》。这本书对高等代数中的重要思想、方法和技巧进行了细致的归纳和完整的总结，因封面为白色，被全国各地的数学学子们称为“高代白皮书”。
要学好高等代数，学好教材是最低的要求。另外，如何用好高代白皮书，也是一个重要的环节。很多同学购买高代白皮书，主要目的是把它作为习题集来刷。这一想法沿袭了初高中“刷题”的习惯，其实并不可取。不做题就学不好数学，但仅靠“刷题”也学不好数学。我们应该把更多的时间放到学习、领悟和掌握数学思想、方法和技巧上来，这样才能真正学好大学数学，切实提高思考问题、解决问题的能力。
最后，我愿以华罗庚先生的一句诗“勤能补拙是良训，一分辛苦一分才”与大家共勉，祝大家不断进步、学业有成！
