PCA算法学习_2(PCA理论的matlab实现)

 

　　前言

　　在前面的博文PCA算法学习_1(OpenCV中PCA实现人脸降维)中已经初步介绍了PCA算法的大概流程及在人脸降维上面的应用。本文就进一步介绍下其理论基础和matlab的实现（也是网上学者的代码）。

　　开发环境：Matlab2012a

 

　　基础

　　假设X是一个m*n的矩阵，是由样本数据构成的矩阵。其中m表示样本的属性维数，n表示样本的个数。现在要对X进行线性变换变成另一个矩阵Y，使得Y的协方差矩阵为对角矩阵，这样的Y就认为是对原始矩阵X提取主成分后的矩阵，实际过程中只需取Y的前面主要的行即可。

　　X变换到Y的线性变换公式为:

　　

　　X和Y的协方差计算方法为：

　　

　　

　　从下面的公式可以看出Cy和Cx的关系为：

　　

　　因为Cx是对称矩阵，对Cx进行特征值分解就可以将其变换成对角矩阵，见下面的公式推导：

 　　

　　公式中的P和E满足：

 　　

　　其中D是由Cx的特征向量构成的对角矩阵。P是线性变换矩阵，P的每一行都是Cx矩阵的特征向量，且P是正交矩阵，一般情况下把特征值大的特征向量排在矩阵前面几行。

　　由此可知，求出P后就可以求出X主成分矩阵了。

　　另外，还可以求出PCA的白化矩阵，PCA的白化矩阵就是特征向量去相关的矩阵，白化矩阵的协方差阵一般为单位矩阵，在PCA中可以这么求：inv(sqrt(D))*E'。普通的PCA算法可以将输入矩阵X变成主成分矩阵Y，尽管Y的协方差矩阵是个对角矩阵，但不一定是单位矩阵，如果对Y继续使用白化操作，则Y的协方差矩阵就变成了单位矩阵了。

 

　　源码

　　该pca函数接口形式为：

[Y,V,E,D] = pca(X)

　　其中X为输入数据，X的每一列是一个输入样本。返回值Y是对X进行PCA分析后的投影矩阵。V是与X有关的协方差矩阵特征向量的白化矩阵，E是对应的特征向量（列）构成的矩阵，D是对应的特征值构成的对角矩阵（特征值处于对角线上）。返回值中的白化矩阵，特征向量和特征值都是按照对应特征值大小进行排序后了的。

　　其matlab源码如下：

function [Y,V,E,D] = pca(X)

% do PCA on image patches
%
% INPUT variables:
% X                  matrix with image patches as columns
%
% OUTPUT variables:
% Y                  the project matrix of the input data X without whiting
% V                  whitening matrix
% E                  principal component transformation (orthogonal)
% D                  variances of the principal components

%去除直流成分
X = X-ones(size(X,1),1)*mean(X);

% Calculate the eigenvalues and eigenvectors of the new covariance matrix.
covarianceMatrix = X*X'/size(X,2); %求出其协方差矩阵
%E是特征向量构成，它的每一列是特征向量，D是特征值构成的对角矩阵
%这些特征值和特征向量都没有经过排序
[E, D] = eig(covarianceMatrix); 

% Sort the eigenvalues  and recompute matrices
% 因为sort函数是升序排列，而需要的是降序排列，所以先取负号,diag(a)是取出a的对角元素构成
% 一个列向量，这里的dummy是降序排列后的向量，order是其排列顺序
[dummy,order] = sort(diag(-D));
E = E(:,order);%将特征向量按照特征值大小进行降序排列，每一列是一个特征向量
Y = E'*X;
d = diag(D); %d是一个列向量
%dsqrtinv是列向量，特征值开根号后取倒,仍然是与特征值有关的列向量
%其实就是求开根号后的逆矩阵
dsqrtinv = real(d.^(-0.5)); 
Dsqrtinv = diag(dsqrtinv(order));%是一个对角矩阵，矩阵中的元素时按降序排列好了的特征值（经过取根号倒后）
D = diag(d(order));%D是一个对角矩阵，其对角元素由特征值从大到小构成
V = Dsqrtinv*E';%特征值矩阵乘以特征向量矩阵