红黑树插入操作
原本是在一张纸上画出了红黑树插入操作的所有情况的演变图示，但前两天将删除操作写到博客上，因此想来，索性就将插入操作也一并写上，以免日后图纸丢失，也方便大伙共同研究，学习。
红黑树的插入操作
1：节点命名约定
N表示新添加的节点。即：取 New 的首字母；
P 表示父节点。即：取 Parent 的首字母；
S表示兄弟姐妹节点。即：取 Sibling的首字母；
G表示祖父节点。即：取 Grandfather的首字母；
Nil表示叶子节点。即所谓的空节点；注意：红黑树中的叶子节点与其他树中所述说的叶子节点不是同一概念。而且红黑树中的叶子节点(即：Nil节点)永远是被定义为黑色的。
2：插入操作宏观分析
对于二叉搜索树的插入操作总是插入在某个叶子节点处(注意：此处的叶子并非指rb-tree的Nil叶子节点，而是真实的叶子节点)，而rb-tree的插入也不例外。另外，rb-tree的插入操作我们总是以红色节点插入，如此我们可以保证rb-tree的黑节点数的任何分支上的平衡。当然以红色节点插入，就有可能违背任何父子节点不能同时为红的性质，所以此时需要额外做一些调整处理。
因此，在红黑树中，插入一个节点往大的说，只有以下几种情况：
情况一：红N黑P；（其中N又分为在P的左子树插入以及右子树插入）
情况二：红N红P黑S；（其中N又分为在P的左子树插入以及右子树插入）
情况三：红N红P红S；（其中N又分为在P的左子树插入以及右子树插入）
其中情况一，插入后的rb-tree的任何性质都没有被破坏，因此不需要做任何调整处理。情况二和情况三插入后均违背了任何父子节点不能同时为红的性质，所以下面我们将全面讨论如何通过调整，重新让最终的rb-tree合法化。
3：红黑树插入后平衡处理
在具体分析之前，再次列出红黑树的定义：
1) 任何一个节点非红即黑；
2) 树的根为黑色；
3) 叶子节点为黑色(注意：红黑树的所有叶子节点都指的是Nil节点)；
4) 任何两个父子节点不可能同时为红色；
5) 任何节点到其所有分枝叶子的简单路径上的黑节点个数相同；
下面是几个图示说明：
根据前面的分析，插入节点的所有情况罗列如下：
a) 红N黑P，且N为左子节点插入：
分析：该情况则新插入的节点N，在插入后不会破坏任何性质，因此插入结束。此时，我们还可推测P的右子树，要么是一个红色节点要不就是一个Nil节点。
b) 红N黑P，且N为右子节点插入。
分析：该情况则新插入的节点N，在插入后不会破坏任何性质，因此插入结束。此时，我们还可推测P的左子树，要么是一个红色节点要不就是一个Nil节点。
c) 红N红P黑S，且N为左子节点插入。
根据rb-tree的性质，P为红，则P的父节点，即：对N来说就是G节点，必为黑色节点，否则违背性质4。再根据性质5，则我们可以推测出此时的S节点，也必为Nil节点。否则经过G节点的两个分支的黑节点数将不平衡，即原rb-tree就已经不平衡。
分析：插入后，明显的G的左子树深度变为2，右子树却为0（注意：此时S是Nil节点），因此需要以G节点进行一次右旋转。旋转后再将P和G的颜色变换，此时原本经过G的节点的任何路径黑节点数为2，现在经过P节点的任何路线的黑节点数也为2，此时所有性质都满足：
操作：
ð 将G右旋转
ð 将P由黑色改为红色
ð 将G改为红色，此时整棵树已完全满足rb-tree的所有性质。
说明：其实这种情况就是AVL树的LL插入的情况。
d) 红N红P黑S，且N为右子节点插入。
这种情况下，其实我们可以通过一次旋转操作，转变成前面的c)状态。因为对于红P而言，现在新插入的红N位置，在未插入N时，该位置必为Nil节点。因此，P的左子节点也必为Nil节点（不明白的同学，请看性质）。因此，在插入N后，我们可以简简单单地对P做一次左旋转，就转变成了c)情况。只是旋转后的P节点相当于c)中的N，即：此时将P作为新插入的节点，再进行调整即可。
分析：经过上面左旋转后，此时将P节点当作是新插入的节点”N”，再转向c)情况处理即可。
操作：
ð 将P左旋转
ð 以旋转后的P节点作为新插入的节点”N”
ð 转向c)情况处理。
说明：这种情况其实就是AVL中的LR插入操作。
e) 红N红P红S，且N为左子节点插入。
根据rb-tree的性质，红P红S，则G必为黑。因此，原先经过G节点的黑节点数必为2。且原先的P和S的左、右子节点必都为Nil。
分析：旋转前，原本经过G节点的黑节点数为2。旋转后，原本经过G的节点却变成经过P节点。而经过P的右分支的黑节点数为2不变，但经过P的左子树的黑节点数却变为1，减少了1，因此，直接将新插入的节点N由红色改为黑色。如此，不论是原本经过G的还是现在经过P的，黑节点数都是平衡的。但由于原本的G位置是黑色的，现在却变成红色。因此，可以将旋转后的P节点当成是新插入的节点，再转向a)情况处理即可。（即：所谓的上溯）。
操作：
ð 将G右旋转
ð 将N节点由红色改为黑色
ð 以此时的P节点作为新插入的节点”N”，转向a)情况处理即可。
说明：这种情况就是AVL中的LL插入操作。
f) 红N红P红S，且N为右子节点插入。
根据rb-tree的性质，红P红S，则G必为黑。因此，原先经过G节点的黑节点数必为2。且原先的P和S的左、右子节点必都为Nil。并且有了前面的e)点分析，其实不难想到，我们可以将f)情况通过简简单单的一个左旋转操作，将问题变换为e)情况。
分析：将P左旋转后，此时将旋转后的P节点当成是将插入的节点”N”，则情况就跟e)点完全一样。
操作：
ð 将P左旋转；
ð 将P作为新插入的节点”N”；
ð 转向e)情况处理即可。
说明：这种情况就是AVL中的LR插入操作。
至此，红黑树的L型（即：LL和LR）插入全部介绍完毕。对于R型（即：RL和RR）插入的情况，仅仅只是上面b)、c)、d)、e)、f)情况中的旋转方向相反一下即可。思路完全相同。另外，与红黑树的删除操作相比，插入操作显得非常的直观，没有删除操作那么复杂。其实将上述的a)到f)情况绘制在一张纸上的话，一张纸就可以完全说明清楚以上全部情况。（有兴趣的同学可以试下看）。
另外，还有一个小细节需要注意，如果在上溯的过程中，如果已经到了树的根了，即：如上面的e)情况中，则此时直接将节点P改为黑色即可。因为已经到根了，P即为根节点。根据性质2，根节点必为黑色。并且此时将P改为黑色，则rb-tree的任何性质都不会被破坏，插入结束。
Q&A
前面e)情况中，为什么要旋转再变色，而不直接改变G为红色，改变P为黑色，改变S为黑色，然后再将G为新插入的节点转到a)情况处理?
ð 个人的理解：要这么转换也是可以的，但从操作步骤数上，将比上文中e)的操作来的多，因此花的时间也将更多。
以上为个人理解，有错误之处，欢迎指正！
