欧拉通路、回路
欧拉通路: 通过图中每条边且只通过一次,并且经过每一顶点的通路
欧拉回路: 通过图中每条边且只通过一次,并且经过每一顶点的回路
有向图的基图:忽略有向图所有边的方向,得到的无向图称为该有向图的基图。
无向图
设G是连通无向图,则称经过G的每条边一次并且仅一次的路径为欧拉通路;
如果欧拉通路是回路(起点和终点是同一个顶点),则称此回路是欧拉回路
具有欧拉回路的无向图G成为欧拉图
有向图
(1)设D是有向图,D的基图连通,则称经过D的每条边一次并且仅有一次的有向路径为 有向欧拉通路
(2)如果有向欧拉通路是有向回路,则称此有向回路为 有向欧拉回路
(3)具有有向欧拉回路的图D称为有向欧拉图
定理
无向图G存在欧拉通路的充要条件是:G为连通图,并且G仅有两个奇度结点(度数为奇数的顶点)或者无奇度结点。
推论
(1) 当G是仅有两个奇度结点的连通图时,G的欧拉通路必以此两个结点为端点;
(2)当G是无奇度结点的连通图时,G必有欧拉回路
(3)G为欧拉图(存在欧拉回路)的充分必要条件是 G为无奇度结点的连通图
(有向图) 定理
有向图D存在欧拉通路的充要条件是:D为有向图,D的基图连通,并且所有顶点的出度与入度相等;或者 除两个顶点外,其余顶点的出度与入度都相等,而这两个顶点中一个顶点的出度与入度之差为1,另一个顶点的出度与入度之差为-1.
推论
(1)当D除出、入度之差为1,-1的两个顶点之外,其余顶点的出度与入度相等时,D的有向欧拉通路必以出、入度之差为1的顶点作为始点,以出、入度之差为-1的顶点作为终点。
(2)当D的所有顶点的出、入度都相等时,D中存在有向欧拉回路。
(3)有向图D为有向欧拉图的充要条件是 D的基图为连通图,并且所有顶点的出、入度都相等。
欧拉回路的求解
两种方法:(1)DFS搜索 (Fleury)佛罗莱算法
(1)DFS搜索 思想求解欧拉回路的思路为:利用欧拉定理判断出一个图存在欧拉通路或欧拉回路后,选择一个正确的起始顶点,用DFS算法遍历所有的边(每条边只遍历一次),遇到走不通就回退。在搜索前进方向上将遍历过的边按顺序记录下来。这组边的排列就组成了一条欧拉通路或回路。
(2) (Fleury)佛罗莱算法
设G为一个无向欧拉图,求G中一条欧拉回路的算法如下:
(1) 任取G中一顶点v0,令P0=v0;
(2)假设沿Pi=v0e1v1e2v2......eivi走到顶点vi,按下面方法从E(G)-{e1,e2,...,ei}中选ei+1。
ei+1与vi相关联
除非无别的边可供选择,否则ei+1不应该是Gi=G-{e1,e2,...,ei}中的桥。
(3)当(2)不能再进行时算法停止。
可以证明的是,当算法停止时,所得到的简单回路Pm=v0e1v1e2v2......emvm,(vm=v0)为G中一条欧拉回路。
备注知识:
设无向图G(V,E)为连通图,若边集E1属于E,在图G中删除E1中所有的边后得到的子图是不连通的,而删除了E1的任一真子集后得到的子图是连通图,则称E1是G的一个割边集。若一条边构成一个割边集,则称该边为割边,或桥
Dfs的方法
#include<iostream>
using namespace std;
void dfs(int);
int map[100][100];
int du[100],path[100];
int n,m,step;
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y;
cin>>x>>y;
map[x][y]=map[y][x]=1;
du[x]++;
du[y]++;
}
int start=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(du[i]%2==1)
start=i;
step=0;
dfs(start);
for(int i=1;i<=step;i++)
cout<<path[i]<<" ";
return 0;
}
void dfs(int start)
{
int i;
for( i=1;i<=n;i++)
if(map[start][i]==1)
{
map[start][i]=map[i][start]=0;
dfs(i);
}
path[++step]=start;
}
佛罗莱算法
//欧拉路径的输出(此图为无向图)
#include<iostream>
using namespace std;
#define M 200
struct stack
{ int top,node[M];
}s; //顶点的栈结构
int Edge[M][M]; //邻接矩阵
int n; //顶点个数
void dfs(int x) //这里的深度优先跟标准版有所区别,即不需要回溯
{ s.top++;
s.node[s.top]=x; //将即将要扩展的结点压入栈中
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(Edge[i][x]) //如果该节点还存在边
{
Edge[i][x]=0;
Edge[x][i]=0; //删除该边,然后搜索另一结点
dfs(i);
break;
}
}
}
void Fleury(int x) //对头节点使用Fleury算法 查找欧拉路径
{ s.top=0;
s.node[s.top]=x;
while(s.top>=0)
{ int flag=0; //记录当前结点是否有边可以扩展
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(Edge[i][s.top])
{ flag=1;
break;
}
}
if(!flag)
{
cout<<s.node[s.top]+1<<" "; //记录时是从0--n-1,所以应该加1
s.top--; //结点输出了,此结点出栈
}
else
{
s.top--; //因为dfs处理时,需要先进栈,所以这里要先出栈,然后再进栈
dfs(s.node[s.top+1]); //处理那个结点
}
}
cout<<endl;
}
int main()
{
int m,s,t; //边数,读入的边的起点和终点
int degree,num,start; //每个顶点的度、基度顶点个数、欧拉回路的起点
cin>>n>>m; //n---顶点数 m---边数
memset(Edge,0,sizeof(Edge));
for(int i=0;i<n;i++)
{
cin>>s>>t;
Edge[s-1][t-1]=1;
Edge[t-1][s-1]=1;
}
num=0;
start=0; //如果存在奇度顶点,则从奇度顶点出发,否则从顶点0出发
for(int i=0;i<n;i++)
{
degree=0;
for(int j=0;j<n;j++)
degree+=Edge[i][j];
if(degree%2)
{
num++;
start=i;
}
}
if(num==0||num==2) Fleury(start);
else cout<<"No Euler path"<<endl;
return 0;
}
模板(无向)
dfs
#include<iostream> #include<queue> using namespace std; int map[110][110],du[500][500],m,n,ans[110],sum,start; void dfs(int k) { for(int i=1;i<=du[k][0];i++) { if(map[k][du[k][i]]==1) { map[k][du[k][i]]=map[du[k][i]][k]=0; dfs(du[k][i]); } }ans[++sum]=k; cout<<k<<' '; } int main() { cin>>n>>m; int x,y; for(int i=1;i<=m;i++) { cin>>x>>y; map[x][y]=map[y][x]=1; du[x][++du[x][0]]=y; du[y][++du[y][0]]=x; } int cnt=0; start=1; for(int i=1;i<=n;i++) { if(du[i][0]%2==1)cnt++,start=i; if(du[i][0]==0){cout<<"no";return 0;} } if(cnt==0||cnt==2)dfs(start); else { cout<<"no"; return 0; } }