LCT学习笔记
Link-Cut Tree 是用于维护由一组有根树组成的森林的数据结构，Link-Cut Tree 的基本操作复杂度为均摊 \(O(log2n)\),具体的定义和时间复杂度的证明可以移步《QTREE 解法的一些研究》，这里主要介绍它的基本操作的具体实现。
定义
struct node *null; //定义一个虚拟空节点
struct node {
node *fa, *c[2]; //fa 代表节点的父亲，c[2]代表节点的左右儿子
bool rev; //rev为翻转标记
node *top; //top代表节点所在实路径尾部节点的父亲
int siz;
node(): fa(null), top(NULL) {c[1] = c[0] = null;
//将每个点的父亲和左右儿子初始化为虚拟空节点，top为NULL
}
操作
Link-Cut Tree 支持以下几种基本操作：
1、 \(Access(u)\)，“访问”某个节点 u，被“访问”过的节点会与根节点之间以路径相连，并且该节点为路径头部（最下端）；
2、 \(Evert(u)\)，将某个节点 u 置为其所在树的根节点，该操作等价于把该节点到根节点所经过的所有边方向取反；
3、 \(Link(u,v)\)，将某两个节点 u 和 v 连接;
4、 \(Cut(u,v)\)，将某两个节点 u 和 v 分离;
5、 \(FindRoot(u)\)，查找某个节点 u 所在树的根节点；
在实现这些操作之前，先列出基础操作
\(reverse\)
将一个节点翻转
inline void reverse () {
rev ^= 1;
swap(c[0], c[1]);
}
\(updata\)
更新节点信息
inline void updata() {
ma = max(max(c[1]->ma, c[0]->ma), val);
sum = c[1]->sum + c[0]->sum + val;
}
\(pushdown\)
标记下传
inline void pushdown() {
if (rev) {
c[1]->reverse(), c[0]->reverse();
rev = 0;
}
}
\(relation\)
得到节点是哪个儿子
inline bool relation() {
return fa->c[1] == this;
}
\(rotate\)
splay中的旋转操作，注意这里传递了一个bool值，用来表示将要旋转的这个节点是其父亲节点的哪个儿子。
注意在旋转时更新信息以及下传标记。
inline void rotate(const bool &f) {
node *o = fa;
top = o->top;
//保证top的有效值总在splay的根节点上
o->pushdown(), pushdown();
//下传标记
(fa = o->fa)->c[o->relation()] = this;
//将this的fa替换为o的fa，同时代替父亲成为o的fa的儿子
(o->c[f] = c[!f])->fa = o;
//因为this的c[!f]将变成o，所以this的c[!f]变成了o的c[f]，同时更新它的fa
(c[!f] = o)->fa = this;
//o变成了this的c[f]
o->updata();
//更新o的值
}
\(splay\)
splay操作基本与普通的splay操作相同，注意标记下传和更新
inline void splay() {
bool f;
node *o = fa;
for (pushdown(); o != null; o = fa) {
if (o->fa == null) {
rotate(o->c[1] == this);
} else {
(f = o->c[1] == this) == (o->fa->c[1] == o) ?
(o->rotate(f), rotate(f)) :
(rotate(f), rotate(!f));
}
}
updata();
}
access 操作
\(expose\)
在实现 access 操作前，我们先来实现 expose 操作，它的作用是将当前节点置为其所在路径的头部节点，即切断自该节点向下的部分路径。
注意标记的下传和更新
inline void expose(node* p = null) {
splay();
if (c[1] != null) {
c[1]->fa = null;
c[1]->top = this;
}
(c[1] = p)->fa = this;
//若p为空，则右子树为空，否则将p所代表的树接在this的右子树位置
updata();
}
有了expose操作实现access操作就很简单了。
\(access\)
先切断要access的节点的右子树（即切断自该节点向下的部分路径），然后若其所在实路径不包含根，则将当前节点所在的路径与其尾部节点的父节点所在的路径合并，即将路径的向上延长
inline void access() {
node *x = this;
for (x->expose(); x->top; x = x->top) {
x ->top->expose(x);
}
}
evert 操作
首先执行 Access，将该节点与根节点之间用一条完整的路径连接，然后翻转这条路径即可。
inline void evert() {
access(); splay(); reverse();
}
link 操作
把它变成根然后把top设置成this就好辣
inline void link(node *y) {
y->evert();
y->top=this;
}
cut 操作
因为这两个点是连在一起的，所以expose一下，再把top断开就好了
inline void cut(node *y) {
node *x = this;
x->expose(), y->expose();
if (x->top == y) x->top = NULL;
if (y->top == x) y->top = NULL;
}
findroot 操作
access一下，在splay树上找到最左边的儿子，即是这个实路径的尾部节点，同时也是树根，找的时候传一下标记。
inline node* findroot() {
node *f = this;
f->access(), f->splay();
while (f->pushdown(), f->c[0] != null)f = f->c[0];
f->splay();
return f;
}
query 和 modify 操作
以查询两个点之间的点权最大值为例。首先在 Node 结构体中存储 max 成员，并在 updata( )中维护它。
首先，如果需要查询某个点到根节点之间的点权最大值，只需先访问这个节点，即 access(u)，然后对该节点执行 splay 操作，将其置为其所在splay 的根节点，此时 u 的 max 存储的值即为 u 到其所在树的根节点的路径上的点权最大值。
如果要查询任意两点间的点权最大值，只需要先对其中一个节点执行 evert 操作，将其置为树根，就可以转化为上述情况进行处理。
split
要查询两点间路径上的值，先把一个点置为根，然后查询就好了
inline void split(node *y) {
y->evert(); access(); splay();
//此时this节点的值就代表了这一段路径上的值
}
路径上修改也是同理，先split一下，修改this的值，然后打上标记就好辣
要修改某个点的点权值，只需要对该节点执行 splay 操作，将其置为其所在 splay 的根节点，然后直接修改即可，这样可以避免修改时标记的向上传递。
modify(单点)
inline void modify(const int &v) {
splay();
val = v;
updata();
}
init 操作
对虚拟空节点进行初始化,可以根据具体题目要求进行更改
inline void init() {
null = pool;
null->fa = null->c[1] = null->c[0] = null;
null->siz = 0;
}
例题
一棵n个点的树，每个点的初始权值为1。对于这棵树有q个操作，每个操作为以下四种操作之一：
u v c：将u到v的路径上的点的权值都加上自然数c；
u1 v1 u2 v2：将树中原有的边(u1,v1)删除，加入一条新边(u2,v2)，保证操作完之后仍然是一棵树；
u v c：将u到v的路径上的点的权值都乘上自然数c；
/ u v：询问u到v的路径上的点的权值和，求出答案对于51061的余数。
链接
输入
第一行两个整数n，q
接下来n-1行每行两个正整数u，v，描述这棵树
接下来q行，每行描述一个操作
输出
对于每个对应的答案输出一行
样例
输入
3 2
1 2
2 3
* 1 3 4
/ 1 1
输出
4
数据规模和约定
10%的数据保证，\(1<=n，q<=2000\)
另外15%的数据保证，\(1<=n，q<=5*10^4\)，没有-操作，并且初始树为一条链
另外35%的数据保证，\(1<=n，q<=5*10^4\)，没有-操作
100%的数据保证，\(1<=n，q<=10^5，0<=c<=10^4\)
题解
LCT随便搞搞就好了，模板题
代码
其中的常数优化和读入输出优化参考了xehoth的代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node* null;
const int mod = 51061;
const int N = 100011;
struct node {
node *fa, *c[2];
bool rev;
node *top;
unsigned int siz, sum, add, mul, val;
node(): siz(1), sum(1), val(1), mul(1), fa(null) {
c[0] = c[1] = null;
}
inline void cover(const int &m, const int &a) {
val = (val * m + a) % mod;
sum = (sum * m + a * siz) % mod;
add = (add * m + a) % mod;
mul = mul * m % mod;
}
inline void updata() {
sum = (c[0]->sum + c[1]->sum + val) % mod;
siz = (c[0]->siz + c[1]->siz + 1) % mod;
}
inline void reverse() {
rev ^= 1;
swap(c[1], c[0]);
}
inline void pushdown() {
if (rev) {
c[0]->reverse(), c[1]->reverse(), rev = 0;
}
if (add != 0 || mul != 1) {
c[0]->cover(mul, add), c[1]->cover(mul, add);
mul = 1, add = 0;
}
}
inline bool relation() {
return fa->c[1] == this;
}
inline void rotate(const bool f) {
node *o = fa;
top = o->top;
o->pushdown(), pushdown();
(fa = o->fa)->c[o->relation()] = this;
(o->c[f] = c[!f])->fa = o;
(c[!f] = o)->fa = this;
o->updata();
}
inline void splay() {
bool f;
node *o = fa;
for (pushdown(); o != null; o = fa) {
if (o->fa == null) {
rotate(o->c[1] == this);
} else {
(f = o->c[1] == this) == (o->fa->c[1] == o)
? (o->rotate(f), rotate(f)) : (rotate(f), rotate(!f));
}
}
updata();
}
inline void expose(node * p = null) {
splay();
if (c[1] != null) {
c[1]->top = this;
c[1]->fa = null;
}
(c[1] = p)->fa = this;
updata();
}
inline void access() {
node *x = this;
for (x->expose(); x->top; x = x->top)
x->top->expose(x);
}
inline void evert() {
access(); splay(); reverse();
}
inline void link(node *y) {
y->evert();
y->top = this;
}
inline void cut(node *y) {
node *x = this;
x->expose(), y->expose();
if (x->top == y) x->top = NULL;
if (y->top == x) y->top = NULL;
}
inline node* findroot() {
node *f = this;
f->access(), f->splay();
while (f->pushdown(), f->c[0] != null)f = f->c[0];
f->splay();
return f;
}
inline void split(node *y) {
y->evert(); access(); splay();
}
} pool[N];
inline void init() {
null = pool;
null->fa = null;
null->mul = 1;
null->add = null->siz = null->val = null->sum = 0;
}
inline char nextChar() {
static const int IN_LEN = 1000000;
static char buf[IN_LEN], *s, *t;
if (s == t) {
t = (s = buf) + fread(buf, 1, IN_LEN, stdin);
if (s == t) return -1;
}
return *s++;
}
inline int read() {
static int x = 0;
static char c;
for (x = 0, c = nextChar(); !isdigit(c); c = nextChar());
for (; isdigit(c); c = nextChar())
x = (x + (4 * x) << 1) + (c ^ '0');
return x;
}
const int OUT_LEN = 10000000;
char obuf[OUT_LEN], *oh = obuf;
template<class T>
inline void print(T x) {
static int buf[30], cnt;
if (x == 0) {
*oh++ = '0';
} else {
if (x < 0) *oh++ = '-', x = -x;
register int cnt = 0;
for (cnt = 0; x; x /= 10) buf[++cnt] = x % 10 + 48;
while (cnt) *oh++ = buf[cnt--];
}
}
template<class T>
inline void println(T x) {
print(x), *oh++ = '\n';
}
inline void flush() {
fwrite(obuf, 1, oh - obuf, stdout);
}
int n, q;
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.in", "r", stdin);
#endif
init();
n = read(), q = read();
for (register int i = 1; i <= n; i++) pool[i] = node();
char s;
register int x, y, z;
for (register int i = 1; i < n; i++) (pool + read())->link(pool + read());
for (register int i = 1; i <= q; i++) {
s = nextChar(), x = read(), y = read();
switch (s) {
case '+':
z = read(), (pool + x)->split(pool + y);
(pool + x)->cover(1, z);
break;
case '-':
(pool + x)->cut(pool + y),
x = read(), y = read(),
(pool + x)->link(pool + y);
break;
case '*':
z = read(), (pool + x)->split(pool + y);
(pool + x)->cover(z, 0);
break;
case '/':
(pool + x)->split(pool + y), println((pool + x)->sum);
break;
}
}
flush();
return 0;
}
