背包问题

在n个物品中挑选若干物品装入背包，最多能装多满？假设背包的大小为m，每个物品的大小为A[i]

样例

如果有4个物品[2, 3, 5, 7]

如果背包的大小为11，可以选择[2, 3, 5]装入背包，最多可以装满10的空间。

如果背包的大小为12，可以选择[2, 3, 7]装入背包，最多可以装满12的空间。

函数需要返回最多能装满的空间大小。

解题

动态规划

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即f[i][j]前i个物品放入大小为j的空间里能够占用的最大体积。

则其状态转移方程便是：

f[i][j]=max{f[i-1][j],f[i-1][j-A[i]]+A[i]}

不放第i个物品：f[i-1][j]

放第i个物品：那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为j-A[i]的背包中”，此时能获得的最大体积就是f[i-1][j-A[i]]再加上通过放入第i件物品获得的体积A[i]

注意上面的状态转移方程i的下标是从1开始的，下面程序是从0开始的，要适当调整

public class Solution {
    /**
     * @param m: An integer m denotes the size of a backpack
     * @param A: Given n items with size A[i]
     * @return: The maximum size
     */
    public int backPack(int m, int[] A) {
        // write your code here
        int[][] P = new int[A.length+1][m+1];
        for(int i = 1;i<= A.length; i++){
            for(int j = m;j>=0;j--){
                if(j>=A[i-1]){
                    P[i][j] = P[i-1][j-A[i-1]] + A[i-1];
                }
                P[i][j] = Math.max(P[i][j],P[i-1][j]);
            }
        }
        return P[A.length][m];
    }
}

或者对0的时候单独考虑

public class Solution {
    /**
     * @param m: An integer m denotes the size of a backpack
     * @param A: Given n items with size A[i]
     * @return: The maximum size
     */
    public int backPack(int m, int[] A) {
        // write your code here
        int[][] P = new int[A.length][m+1];
        for(int i = 0;i< A.length; i++){
            for(int j = m;j>=0;j--){
                if(i==0){ // 第0个物品可以放入空间为j的背包中，直接放入
                    if(j>=A[i])
                        P[i][j] = P[i][j-A[i]] + A[i];
                }else{
                    if(j>=A[i]){
                        P[i][j] = P[i-1][j-A[i]] + A[i];
                    }
                    P[i][j] = Math.max(P[i][j],P[i-1][j]);    
                }
                
            }
        }
        return P[A.length-1][m];
    }
}

上面的时间空间复杂度都是O(MN)

状态转移方程式：

f[i][j] = Max(f[i-1][j],f[i-1][j-A[i]]+A[i])

f[i][j]表示对前i个物品，j的空间所能够取得的最大价值

实际上，我们需要求的是对所有的n个商品在m的空间中能够放入的最大价值

可以修改定义一个一维矩阵，长度就是m的空间的价值

f[j] = Max(f[j],f[j-A[i]]+A[i]) 这里就相当于对上面的矩阵进行了压缩

public class Solution {
    /**
     * @param m: An integer m denotes the size of a backpack
     * @param A: Given n items with size A[i]
     * @return: The maximum size
     */
    public int backPack(int m, int[] A) {
        // write your code here
        int[] P = new int[m+1];
        for(int i=0;i<A.length;i++){
            for(int j=m;j>=0;j--){
                if(j>=A[i])
                    P[j] = Math.max(P[j],P[j-A[i]] + A[i]);
            }
        }
        return P[m];
    }
}

参考：http://love-oriented.com/pack/P01.html

可以输出零钱的具体方案

package org.oj.dp;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;

public class 换零钱问题 {
    static ArrayList<ArrayList<String>>  lists;
    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        int[] A = {1,2,5,10,20,50};

        lists = new ArrayList<ArrayList<String>>(11);
        ArrayList<String> l1 = new ArrayList<String>();
        l1.add("");
        lists.add(l1);
        for(int i=0;i<11;i++){
            lists.add(new ArrayList<String>(10));
        }
        changeMoney(A,10);
        System.out.println(lists);
    }
    /**
     * 根据上一个零钱方案，更新当前零钱方案
     * @param A
     * @param money
     */
    private static void changeMoney(int[]A,int money){
        int[] dp = new int[money+1];
        dp[0] = 1;
        for(int i=0;i<A.length;i++){
            for(int j=A[i];j<=money;j++){
                dp[j] +=dp[j-A[i]];
                // 记录零钱方案
                for(int k=0;k<lists.get(j-A[i]).size();k++){
                    lists.get(j).add(lists.get(j-A[i]).get(k)+" "+A[i]);
                }
            }
        }
        System.out.println(Arrays.toString(dp));
    }
    /**
     * DFS实现
     * @param m
     * @param A
     * @param start
     * @param result
     * @param str
     */
    private static  void DFS(int m,int[]A,int start,ArrayList<String>result,String str){
            if(m == 0){    
                result.add(str);
                return;
            }
            if(A[start]> m){
                return;
            }
            for(int i = start;i<A.length;i++){
                DFS(m - A[i],A,i,result,str+ " "+A[i]);
            }
     }    

}