动态规划 - 最长递增子序列(LIS)

最长递增子序列是动态规划中经典的问题，详细如下：

在一个已知的序列{a1,a2,...,an}中，取出若干数组组成新的序列{ai1,ai2,...,aim}，其中下标i1,i2,...,im保持递增，即新数列中的各个数之间依旧保持原数列中的先后顺序，那么我们称新的序列{ai1,ai2,...,aim}为原序列的一个子序列。若在子序列中，当下标ix > iy时，aix > aiy，那么我们称这个子序列为原序列的一个递增子序列。最长递增子序列问题，就是在一个给定的原序列中，求得最长递增子序列长度。

有序列{a1,a2,...,an}，我们求其最长递增子序列长度。按照递推求解的思想，我们用F[i]代表若递增子序列以ai结束时它的最长长度。当 i 较小，我们容易直接得出其值，如 F[1] = 1。那么，如何由已经求得的 F[i]值推得后面的值呢？假设，F[1]到F[x-1]的值都已经确定，注意到，以ax 结尾的递增子序列，除了长度为1的情况，其它情况中，ax都是紧跟在一个由 ai(i < x)组成递增子序列之后。要求以ax结尾的最长递增子序列长度，我们依次比较 ax 与其之前所有的 ai(i < x)， 若ai小于 ax，则说明ax可以跟在以ai结尾的递增子序列之后，形成一个新的递 增子序列。又因为以ai结尾的递增子序列最长长度已经求得，那么在这种情况下，由以 ai 结尾的最长递增子序列再加上 ax 得到的新的序列，其长度也可以确定，取所有这些长度的最大值，我们即能得到 F[x]的值。特殊的，当没有ai(i < x)小 于ax， 那么以 ax 结尾的递增子序列最长长度为1。 即F[x] = max{1,F[i]+1|ai<ax && i<x};

例如序列{1,4,3,2,6,5}的最长递增子序列长度的所有F[i]为:

F[1] （1）	F[2]（4）	F[3]（3）	F[4]（2）	F[5]（6）	F[6]（5）
1	2	2	2	3	3

总结一下，求最长递增子序列的递推公式为：

F[1] = 1;

F[i] = max{1,F[j]+1|aj<ai && j<i}

我们可以根据递推公式将算法实现

#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXSIZE = 10;
const int MIN = 0;
int arr[] = { 1, 4, 3, 2, 6, 5 };
int F[MAXSIZE];
int main()
{
    int maxLen = MIN;
    memset(F, 0, MAXSIZE);
    F[0] = 1;
    for (int i = 1; i < 6; i++)
    {
        for (int j = 0; j < i; j++)
        {
            if (arr[i] > arr[j] && maxLen < F[j])
            {
                maxLen = F[j];
            }
        }

        F[i] = maxLen + 1;
    }

    for (int k = 0; k < 6; k++)
        cout << F[k] << ' ';
    cout << endl;
}