最长递增子序列是动态规划中经典的问题,详细如下:
在一个已知的序列{a1,a2,...,an}中,取出若干数组组成新的序列{ai1,ai2,...,aim},其中下标i1,i2,...,im保持递增,即新数列中的各个数之间依旧保持原数列中的先后顺序,那么我们称新的序列{ai1,ai2,...,aim}为原序列的一个子序列。若在子序列中,当下标ix > iy时,aix > aiy,那么我们称这个子序列为原序列的一个递增子序列。最长递增子序列问题,就是在一个给定的原序列中,求得最长递增子序列长度。
有序列{a1,a2,...,an},我们求其最长递增子序列长度。按照递推求解的思想,我们用F[i]代表若递增子序列以ai结束时它的最长长度。当 i 较小,我们容易直接得出其值,如 F[1] = 1。那么,如何由已经求得的 F[i]值推得后面的值呢?假设,F[1]到F[x-1]的值都已经确定,注意到,以ax 结尾的递增子序列,除了长度为1的情况,其它情况中,ax都是紧跟在一个由 ai(i < x)组成递增子序列之后。要求以ax结尾的最长递增子序列长度,我们依次比较 ax 与其之前所有的 ai(i < x), 若ai小于 ax,则说明ax可以跟在以ai结尾的递增子序列之后,形成一个新的递 增子序列。又因为以ai结尾的递增子序列最长长度已经求得,那么在这种情况下,由以 ai 结尾的最长递增子序列再加上 ax 得到的新的序列,其长度也可以确定,取所有这些长度的最大值,我们即能得到 F[x]的值。特殊的,当没有ai(i < x)小 于ax, 那么以 ax 结尾的递增子序列最长长度为1。 即F[x] = max{1,F[i]+1|ai<ax && i<x};
例如序列{1,4,3,2,6,5}的最长递增子序列长度的所有F[i]为:
F[1] (1) | F[2](4) | F[3](3) | F[4](2) | F[5](6) | F[6](5) |
1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 |
总结一下,求最长递增子序列的递推公式为:
F[1] = 1;
F[i] = max{1,F[j]+1|aj<ai && j<i}
我们可以根据递推公式将算法实现
#include <iostream> using namespace std; const int MAXSIZE = 10; const int MIN = 0; int arr[] = { 1, 4, 3, 2, 6, 5 }; int F[MAXSIZE]; int main() { int maxLen = MIN; memset(F, 0, MAXSIZE); F[0] = 1; for (int i = 1; i < 6; i++) { for (int j = 0; j < i; j++) { if (arr[i] > arr[j] && maxLen < F[j]) { maxLen = F[j]; } } F[i] = maxLen + 1; } for (int k = 0; k < 6; k++) cout << F[k] << ' '; cout << endl; }
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