三、递推法

递推法是利用问题本身所具有的一种递推关系求问题解的一种方法。设要求问题规模为N的解，当N=1时，解或为已知，或能非常方便地得到解。能采用递推法构造算法的问题有重要的递推性质，即当得到问题规模为i-1的解后，由问题的递推性质，能从已求得的规模为1，2，…，i-1的一系列解，构造出问题规模为I的解。这样，程序可从i=0或i=1出发，重复地，由已知至i-1规模的解，通过递推，获得规模为i的解，直至得到规模为N的解。
【问题】   阶乘计算
问题描述：编写程序，对给定的n（n≦100），计算并输出k的阶乘k！（k=1，2，…，n）的全部有效数字。
由于要求的整数可能大大超出一般整数的位数，程序用一维数组存储长整数，存储长整数数组的每个元素只存储长整数的一位数字。如有m位成整数N用数组a[ ]存储：
  N=a[m]×10m-1+a[m-1]×10m-2+ … +a[2]×101+a[1]×100
并用a[0]存储长整数N的位数m，即a[0]=m。按上述约定，数组的每个元素存储k的阶乘k！的一位数字，并从低位到高位依次存于数组的第二个元素、第三个元素……。例如，5！=120，在数组中的存储形式为：
3   0   2   1   ……
首元素3表示长整数是一个3位数，接着是低位到高位依次是0、2、1，表示成整数120。
  计算阶乘k！可采用对已求得的阶乘(k-1)！连续累加k-1次后求得。例如，已知4！=24，计算5！，可对原来的24累加4次24后得到120。细节见以下程序。
# include <stdio.h>
# include <malloc.h>
# define MAXN   1000
void pnext(int a[ ],int k)
{   int *b,m=a[0],i,j,r,carry;
  b=(int * ) malloc(sizeof(int)* (m+1));
  for ( i=1;i<=m;i++)     b=a;
  for ( j=1;j<=k;j++)
  {   for ( carry=0,i=1;i<=m;i++)
    {   r=(i<a[0]?a+b:a)+carry;
      a=r%10;
      carry=r/10;
    }
    if (carry) a[++m]=carry;
  }
  free(b);
  a[0]=m;
}

void write(int *a,int k)
{   int i;
  printf(“%4d！=”,k);
  for (i=a[0];i>0;i--)
    printf(“%d”,a);
printf(“\n\n”);
}

void main()
{   int a[MAXN],n,k;
  printf(“Enter the number n: “);
  scanf(“%d”,&n);
  a[0]=1;
  a[1]=1;
  write(a,1);
  for (k=2;k<=n;k++)
  {   pnext(a,k);
    write(a,k);
    getchar();
  }
}