（ST表+二分+前缀和）CSU 1879 - Hack Protection

题意：

给定一个序列，求异或和与按位与和相同的区间有几个。

异或和：n个数异或起来。按位与和类似。

 

分析：

这才是神题，基础算法大杂烩。

问大佬这题的时候，人家只说很不难啊。。

只能说自己太菜。

由于询问区间个数，自然要快速知道某一个区间的异或和与按位与和。

异或和很简单，利用他的性质，直接求前缀和即可。

但是按位与没有和加法和异或类似的性质，无法直接求出。

但是利用之前的知识可以将所有结果预处理出来，而且只要nlogn的复杂度。

就是之前搞RMQ的ST表，很适合离线查询。

几乎不用动的把 min或max换成&，就能得到O(1)查询区间按位与和的方法。

此时，依然无从下手。

我们还需要知道一个性质，就是说按位与是单调递减的！

因为二进制表示中，1不会增多，只会减少，再确切一点在32位int整数中只会减少32次，最多！

所以最后只会出来类似999998877444422222221110000000这样的值。

也就是说固定每一位左端点，从左端点按位与到最后一位都是出现想上面这样类似的数列。

这时我们就能发现

假设当前固定左端点为L，第一个9的开头是R，9的结尾是W，i为从R到W。

异或前缀和用pre数组表示。

那么那么如果要是异或和和按位与相等。

必须要满足pre[i]^pre[L-1]==9

我们需要统计的是满足这样条件的i的数量。

但是显然不能使用暴力的方式。

继续利用异或的性质，a^b=c  ==> a=c^b

我们可以知道pre[i]==9^pre[L-1]

此时我们只要找前缀和里有几个是满足这个条件的。

这里又是一个非常牛逼的方法，直接用map<int,vector<int>>记录每一个前缀异或和的所有下标。

还记得当年的有序数列计数操作么？

upper_bound - lower_bound。。。。

最终复杂度O(n*log(ai)*log(n))

到此，所有题解都结束了，又回忆了一次，只想说好牛逼。。

绝对好题。。

 

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <iostream>
#include <vector>



using namespace std;

const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 100010;

#define fi first
#define se second
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;

int n;
int num[maxn];
int pre[maxn];

int st[maxn];
int dp[maxn][20];

map<int, vector<int> > xo;

void init() {
    pre[0] = 0;
    xo.clear();
}

void Build_ST() {
    st[0] = -1;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        st[i] = ((i & (i - 1)) == 0) ? st[i - 1] + 1 : st[i - 1];
        dp[i][0] = num[i];
    }
    for(int  j = 1; j <= st[n]; j++) {
        for(int i = 1; i + (1 << (j - 1))  <= n; i++) {
            dp[i][j] = dp[i][j - 1] & dp[i + (1 << (j - 1))][j - 1];
        }
    }
}

int ga(int l, int r) {
    int k = st[r - l + 1];
    return dp[l][k] & dp[r - (1 << k) + 1][k];
}

int gr(int zl, int l, int b) {
    int left = l, right = n;
    int w = l + 1;
    while(left <= right) {
        int mid = (left + right) >> 1;
        int pp = ga(zl, mid);
        if(pp == b) {
            left = mid + 1;
            w = mid;
        } else {
            right = mid - 1;
        }
    }
    return w;
}


int main() {
//    freopen("hack.in", "r", stdin);
//    freopen("hack.out", "w", stdout);
    scanf("%d", &n);
    init();
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &num[i]);
        pre[i] = pre[i - 1] ^ num[i];
        xo[pre[i]].push_back(i);
    }
    Build_ST();
    ll ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        int w = i - 1;
        int q = 2147483647;
        for(int r = w; r < n; r = w) {
            q &= num[r + 1];
            w = gr(i, r + 1, q);
            int d = pre[i - 1] ^ q;
            ans += upper_bound(xo[d].begin(), xo[d].end(), w) - lower_bound(xo[d].begin(), xo[d].end(), r + 1);
        }
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;

}