用蒙特卡罗方法计算五人传球问题

蒙特卡罗方法百度解释http://baike.baidu.com/link?url=XwVnK6P_gip61_P9RzC9u6T4KQP5hmoZIvx57XBM66hPBONRRl3-yAwldGr3orFe

问题描述：

有A B C D E 五个人，围成一圈，开始球在A的手上，然后由A向与自己相邻的两边的某一人传球，然后要求计算球被传十次，最后又回到A手中的概率。

 

 

 

 

 

 

如上图所示，A只能把球传给B或者E,其几率是相同的。

对每个人来说把球传给左边或者右边的人的几率都是相同的，且为1/2；

这样我们便可以用这样的公式来计算出最后的结果：

分母是指每轮传球每个人都有两种传球可能性

分子中的2是指可以通过传球沿着一个顺序转两圈的方式，使球到达A的手中；

后面的组合公式是指每轮传十次球，必须做到五次是传给右边的人，五次传给左边的人，才能最终到达A的手中。这样做出来的结果是254/1024=0.248;

 

然后回到我们的重点上来，如何能够用蒙特卡罗方法解决这个题目。

首先要建立模型，即要模仿真人传球的过程。

每一次传球的时候都看做是随机的，那么让机器产生一个随机数，根据随机数的大小来分配球传递的方向，这样便可以解决随机性问题，

然后在充分多的数量之后便可以根据能够到达A的次数总和L除以总数N,求出概率。这里的N 取1000000次就可以，对计算机来说，1000000次也是很快就做完的。

具体实现代码如下：

 

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
//利用蒙特卡罗方法 
//目的：计算 p=L/N;
//L: 球回到A手中的次数 
//N: 充分多的次数，这里取值1000000 
// A-B-C-D-E-A,从A开始 
using namespace std;
int factory(); //每轮传十次球的模仿过程 
int main()
{
    srand(time(NULL));//用时间做种子 
    int count=0;//记录回到A的数量 
    for(int i=0;i<1000000;i++)//循环1000000次 
    {
        count+=factory();
    }
    double rate=1.0*count/1000000.0;
    cout<<"rate= "<<rate<<endl;
    return 0;
} 
int factory()
{
    //建立五元数组，模仿五个人，
    //每次让球所在的位置为1，其余为零 
    int test[5]={1,0,0,0,0};//test[0]代表A 
    int q=0;
    for(int i=0;i<10;i++)
    {
        q=rand()%10+1;//生成1-10的随机数
        //q<=5 go left
        //q>5 go right 
        for(int j=0;j<5;j++)
        {
            if(test[j]==1)//the ball current place 
            {
                if(q<=5)
                {
                    if(j==0)test[4]=1,test[0]=0;
                    else test[j]=0,test[j-1]=1;
                }
                else
                {
                    if(j==4)test[0]=1,test[4]=0;
                    else test[j]=0,test[j+1]=1;
                }
                break;
            }
        } 
    }
    if(test[0]==1)return 1;//最终回到A返回1 
    return 0; 
}

通过代码实现，结果也约等于0.248，说明通过蒙特卡罗方法计算出来的数据为真。

在很多难以用简单公式计算的时候可以采用蒙特卡罗算法计算。