差分约束学习笔记

         这几天学了差分约束，总结一下。

        先从百度百科摘录差分约束系统定义：

        如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，其中每个约束条件形如xj-xi<=bk(i,j∈[1,n],k∈[1,m]),则称其为差分约束系统(system of difference constraints)。亦即，差分约束系统是求解关于一组变量的特殊不等式组的方法。

        差分约束可以转化话单源最短路求解。因为单源最短路径满足三角不等式d[v] <= d[u] + w(u, v), 这里的 <= 可以为改 >= 只要改变一下初始化条件即可。

 

        差分约束题目有两种，一种求最大值，另外一种求最小值。

       （1）当题目是求满足给定不等式的最小值时，就是求图的最长路。

        建图方式如下：a – b >= c，对应于边b –> a w(b, a) = c, 然后求最短路；判断条件是：d[v] <= d[u] + w(u, v), 初始化d[]为-INF. 这样求出的d[]就是满足条件的最小值。原因很简单，因为d[i] 是从-INF开始增大，根据不等式逐渐增大，当满足所有不等式时，那么d[i]肯定是最小的了。

       （2）当题目是求满足给定不等式的最大值时，就是求图的最短路。

        建图方式如下：a – b <= c，对应于边b –> a w(b, a) = c, 然后求最长路；判断条件是：d[v] >= d[u] + w(u, v), 初始化d[]为INF.这样求出的d[]就是最大值。原因和上面一样，因为是从INF逐渐减小的，当满足完所有条件时，就停止。那么d[i]是最大的了。

 

       常见单源最短路径方法有bellman_ford, spfa, Dijkstra

       bellman_ford算法，适用于边值负权的图，还能判断是否存在负权回路，它是把所有的边都松弛n-1次。算法复杂度为O(VE),这个方法效率不高，在数据规模大时，往往会TLM。

       spfa算法，是bellman_ford算法的改进版。它通过一个队列或栈，来保存需要更新的顶点。它减去了bellman算法很多不必要的松弛,因此它的效率比bellman要好,为O(ke)。

       Dijkstra算法，它只适用于边值为非负的图上。它基于贪心，每次选取最短的边。可以用heap来优化，在正权图也可以考虑。

 

       体会：虽然bellman_ford不及spfa的效率，但它在判断是否存在负权回路比spfa方便。它能判断不连通的图，而spfa判断不连通图时有可能不准确，当开始的源点到达不了某些顶点时，那么那些顶点就无法检验了。为此，spfa需要添加一个超源点来使得图连通（还有一个方法：就是先把所有顶点入队），而bellman不需要添加超源点， 因为它是对图的每一条边都进行n-1次松弛。有时候超源点不好添加，这时可以考虑用bellman。

       还有一点，当适用spfa添加超源点使得图连通（超源点S0 到其他顶点距离都为0）时，用最短路求出的解， 除了满足给定的不等式外，还会满足下列的不等式：

        S1 – S0 <= 0

        S2 – S0 <= 0

        …

        Sn – S0 <= 0

也就是说S1 ~ Sn是 < 0 的，这个对不同问题，要具体分析。这些额外满足的不等式，不能与题目要求的矛盾。