分而治之思想
当一个问题的规模很大时,直接求解往往比较困难。对于这类问题,很大一部分是可以采取分而治之的思想来处理的。
分治法是把问题划分成多个子问题来进行处理。这些子问题,在结构上跟原来的问题一样,但是规模比原来的问题要小。如果得到的子问题还是比较大,那么可以接着细分,一直细分到可以接受的程度为止。这样就可以用迭代的方法,分别求解这些子问题,最后再将子问题的解组合起来,就可以得到原问题的解。
分治法的设计原理
对于一个规模为n的问题P(n),可以将它分解成k个规模较小的子问题,这些子问题互相独立,且结构跟原问题的结构相同。在解这些问题的时候,又可以对每一个子问题进行进一步的分解,直到某一个阈值n0时为止。递归地解这些子问题,再把各个子问题的解结合起来,就得到原问题的解。这就是分而治之的思想。
分治法的设计步骤:
其中n0是一个阈值,当问题规模小于等于n0时,就不需要再对问题进行分解,而直接调用adhoc求解。adhoc是用来直接求解规模最小问题p的子算法。merge用来把所有子问题的解合并成原问题的真正解。
从上面的图中可以看出,分支思想的实现有三个步骤:
(1)划分步:把输入的问题划分成k个子问题。一般使这k个问题的规模大致相同。
(2)治理步:当问题的规模大于预定义的n0时,治理步由k个递归调用组成。
(3)组合步:组合步主要用来将各子问题的解合并成原问题的解。这一步对分治法的实际性能很重要。